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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Projektive Messung und Positive Operator Valued Measure (POVM)
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Universität/Hochschule J Projektive Messung und Positive Operator Valued Measure (POVM)
Physiker123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-12


Hallo zusammen,
mich beschäftigt gerade folgende Aufgabe



Zu Aufgabenteil a) habe ich mir folgendes überlegt. Bei projektiven Messungen wird auf den zum gemessenen Eigenwert gehörenden Eigenraum projiziert. Misst Bob also in der \(\vert 0\rangle,\vert 1\rangle\) Basis eine "0" so liegt das System nach der Messung im Zustand \(\vert 0\rangle\) vor. In diesem Fall kommen alle Zustände in Frage und Bob muss zwischen allen drei wählen. Wird eine "1" gemessen muss nur zwischen den Zuständen \(\vert \psi_2\rangle\) und \(\vert \psi_3\rangle\) entschieden werden.

Um die Fehlerwahrscheinlichkeit zu bestimmen muss berücksichtigt werden wie oft welcher Eigenwert gemessen wird bzw. wie oft sich Bob zwischen zwei oder drei Möglichkeiten entscheiden muss. Da alle Zustände mit gleicher Wahrscheinlichkeit von Alice verschickt werden ist

\[p(0)=\frac{1}{3}\big(1+\sin^2(\theta)+\sin^2(\theta)\big)=\frac{1}{2}\] \[p(1)=\frac{1}{3}\big(\cos^2(\theta)+\cos^2(\theta)\big)=\frac{1}{2}\]
Eine "0" wird also genau so häufig gemessen wie eine "1". Würde beispielsweise nur der Zustand \(\vert\psi_2\rangle\) vorkommen so wäre die Wahrscheinlichkeit für "0" \(\sin^2(\theta)\) und für "1" \(\cos^2(\theta)\). Da aber dieser Zustand nur mit der Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{3}\) auftritt muss mit dem Vorfaktor \(\frac{1}{3}\) gewichtet werden. Die Wahrscheinlichkeiten aller Zustände mit denen eine Messung dieses Eigenwerts möglich ist werden einfach aufsummiert.


Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit ist dann schließlich

\[\langle F\rangle=\frac{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}{2}=\frac{7}{12}\approx 58 \% \]
Wird nämlich eine "0" gemessen so liegt Bob in \(\frac{2}{3}\) aller Fälle falsch. Für den Eigenwert "1" ist der Fehler nur \(\frac{1}{2}\). Da beide Werte mit gleicher Wahrscheinlichkeit gemessen werden kann man einfach das arithmetische Mittel beider Fehlerquoten bilden. Ansonsten müsste mit der Häufigkeit des Auftretens der Eigenwerte gewichten.

Wie kann ich nun die Fehlerwahrscheinlichkeit für eine beliebige orthogonale Messung berechnen? Wähle ich

\[\vert\phi\rangle=\alpha\vert 0\rangle+\beta\vert 1\rangle\]
und den dazu orthogonalen Vektor komme ich auf keine allgemeine Formel für die Fehlerwahrscheinlichkeit. Alternativ dazu könnte auch gezeigt werden dass projektive Messungen mit Zuständen die gerade orthogonal zu denjenigen sind die man unterscheiden will immer zu einem minimalen Fehler führen. Das kann man auf wikipedia nachlesen. Allerdings geht das ja nur mit zwei Zuständen. Hier habe ich drei.

Bei Aufgabenteil b) komme ich nicht weiter, da es wohl keine allgemeine Vorschrift gibt um eine POVM zu konstruieren. Kann jemand helfen?




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zippy
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2019-12-12 20:21 - Physiker123 im Themenstart schreibt:
Wie kann ich nun die Fehlerwahrscheinlichkeit für eine beliebige orthogonale Messung berechnen? Wähle ich

\[\vert\phi\rangle=\alpha\vert 0\rangle+\beta\vert 1\rangle\]
und den dazu orthogonalen Vektor komme ich auf keine allgemeine Formel für die Fehlerwahrscheinlichkeit.

Wenn du $\alpha$ und $\beta$ als $\alpha=\cos\phi$, $\beta=\sin\phi$ parametrisierst, erhältst du die Fehlerwahrscheinlichkeit als Funktion von $\phi\in[0,2\pi)$. Dann musst du nur noch die Minima dieser Funktion suchen.

2019-12-12 20:21 - Physiker123 im Themenstart schreibt:
Allerdings geht das ja nur mit zwei Zuständen. Hier habe ich drei.

So ist es. Und aus diesem Grunde ist das auch keine Alternative zum ersten Ansatz.

2019-12-12 20:21 - Physiker123 im Themenstart schreibt:
Bei Aufgabenteil b) komme ich nicht weiter, da es wohl keine allgemeine Vorschrift gibt um eine POVM zu konstruieren.

Du sollst nicht ein optimales POVM konstruieren, sondern nur eines, das besser als die Projektor-Messung ist. Dafür brauchst du keine "allgemeine Vorschrift".



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Physiker123
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Vielen Dank du hast mir schon sehr weitergeholfen



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