Die Mathe-Redaktion - 21.02.2020 11:31 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 579 Gäste und 19 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Dixon Orangenschale
Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Projektive Messung und Positive Operator Valued Measure (POVM)
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Projektive Messung und Positive Operator Valued Measure (POVM)
Physiker123
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.02.2016
Mitteilungen: 504
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-12


Hallo zusammen,
mich beschäftigt gerade folgende Aufgabe



Zu Aufgabenteil a) habe ich mir folgendes überlegt. Bei projektiven Messungen wird auf den zum gemessenen Eigenwert gehörenden Eigenraum projiziert. Misst Bob also in der \(\vert 0\rangle,\vert 1\rangle\) Basis eine "0" so liegt das System nach der Messung im Zustand \(\vert 0\rangle\) vor. In diesem Fall kommen alle Zustände in Frage und Bob muss zwischen allen drei wählen. Wird eine "1" gemessen muss nur zwischen den Zuständen \(\vert \psi_2\rangle\) und \(\vert \psi_3\rangle\) entschieden werden.

Um die Fehlerwahrscheinlichkeit zu bestimmen muss berücksichtigt werden wie oft welcher Eigenwert gemessen wird bzw. wie oft sich Bob zwischen zwei oder drei Möglichkeiten entscheiden muss. Da alle Zustände mit gleicher Wahrscheinlichkeit von Alice verschickt werden ist

\[p(0)=\frac{1}{3}\big(1+\sin^2(\theta)+\sin^2(\theta)\big)=\frac{1}{2}\] \[p(1)=\frac{1}{3}\big(\cos^2(\theta)+\cos^2(\theta)\big)=\frac{1}{2}\]
Eine "0" wird also genau so häufig gemessen wie eine "1". Würde beispielsweise nur der Zustand \(\vert\psi_2\rangle\) vorkommen so wäre die Wahrscheinlichkeit für "0" \(\sin^2(\theta)\) und für "1" \(\cos^2(\theta)\). Da aber dieser Zustand nur mit der Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{3}\) auftritt muss mit dem Vorfaktor \(\frac{1}{3}\) gewichtet werden. Die Wahrscheinlichkeiten aller Zustände mit denen eine Messung dieses Eigenwerts möglich ist werden einfach aufsummiert.


Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit ist dann schließlich

\[\langle F\rangle=\frac{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}{2}=\frac{7}{12}\approx 58 \% \]
Wird nämlich eine "0" gemessen so liegt Bob in \(\frac{2}{3}\) aller Fälle falsch. Für den Eigenwert "1" ist der Fehler nur \(\frac{1}{2}\). Da beide Werte mit gleicher Wahrscheinlichkeit gemessen werden kann man einfach das arithmetische Mittel beider Fehlerquoten bilden. Ansonsten müsste mit der Häufigkeit des Auftretens der Eigenwerte gewichten.

Wie kann ich nun die Fehlerwahrscheinlichkeit für eine beliebige orthogonale Messung berechnen? Wähle ich

\[\vert\phi\rangle=\alpha\vert 0\rangle+\beta\vert 1\rangle\]
und den dazu orthogonalen Vektor komme ich auf keine allgemeine Formel für die Fehlerwahrscheinlichkeit. Alternativ dazu könnte auch gezeigt werden dass projektive Messungen mit Zuständen die gerade orthogonal zu denjenigen sind die man unterscheiden will immer zu einem minimalen Fehler führen. Das kann man auf wikipedia en.wikipedia.org/wiki/POVM nachlesen. Allerdings geht das ja nur mit zwei Zuständen. Hier habe ich drei.

Bei Aufgabenteil b) komme ich nicht weiter, da es wohl keine allgemeine Vorschrift gibt um eine POVM zu konstruieren. Kann jemand helfen?




  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 914
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-14


2019-12-12 20:21 - Physiker123 im Themenstart schreibt:
Wie kann ich nun die Fehlerwahrscheinlichkeit für eine beliebige orthogonale Messung berechnen? Wähle ich

\[\vert\phi\rangle=\alpha\vert 0\rangle+\beta\vert 1\rangle\]
und den dazu orthogonalen Vektor komme ich auf keine allgemeine Formel für die Fehlerwahrscheinlichkeit.

Wenn du $\alpha$ und $\beta$ als $\alpha=\cos\phi$, $\beta=\sin\phi$ parametrisierst, erhältst du die Fehlerwahrscheinlichkeit als Funktion von $\phi\in[0,2\pi)$. Dann musst du nur noch die Minima dieser Funktion suchen.

2019-12-12 20:21 - Physiker123 im Themenstart schreibt:
Allerdings geht das ja nur mit zwei Zuständen. Hier habe ich drei.

So ist es. Und aus diesem Grunde ist das auch keine Alternative zum ersten Ansatz.

2019-12-12 20:21 - Physiker123 im Themenstart schreibt:
Bei Aufgabenteil b) komme ich nicht weiter, da es wohl keine allgemeine Vorschrift gibt um eine POVM zu konstruieren.

Du sollst nicht ein optimales POVM konstruieren, sondern nur eines, das besser als die Projektor-Messung ist. Dafür brauchst du keine "allgemeine Vorschrift".



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Physiker123
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.02.2016
Mitteilungen: 504
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-18


Vielen Dank du hast mir schon sehr weitergeholfen



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Physiker123 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Physiker123 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]