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Moderiert von Wally haerter
Gewöhnliche DGL » Systeme von DGL » DGL 2. Ordnung: Matrix und Eigenfrequenz berechnen
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Autor
Universität/Hochschule DGL 2. Ordnung: Matrix und Eigenfrequenz berechnen
maxmustermann9991
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 243
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-14


Eine Masse-Feder-System, bestehend aus den Massen \(m_1=1kg\) und \(m_2=1kg\), die durch die Feder mit der Federkonstanten \(K_2=40\frac{N}{m}\) verbunden sind und deren erste Masse mit einer fixierten Wand über eine Feder der Federkonstanten \(K_1=80\frac{N}{m}\) verbunden ist, schwingt als freies System. (siehe Skizze).
Das daraus resultierende DGL-System 2. Ordnung für die Verschiebungen \(u_{1/2}\) lautet:

$$\begin{pmatrix} \ddot{u_1}\\\ddot{u_2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u_1\\u_2 \end{pmatrix}$$
Wie lauten die Elemente der Matrix A?
$$A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}$$

Mit dem Ansatz \(u_{1/2}=v_{1/2}\cdot e^{\lambda\cdot t}\) erhält man eine Eigenwertgleichung für \(μ=\lambda^2\).
Bestimmen Sie die beiden Werte für \(μ=\lambda^2\)
und berechnen Sie daraus die Lösung mit der kleinsten Eigenfrequenz \(ω_1\).
\(u_1=C_1\cdot v_1\cdot\cos(ω_1t)+C_2\cdot v_1\cdot\sin(ω_1t)\) und \(u_2=C_1\cdot v_2\cdot\cos(ω_1t)+C_2\cdot v_2\cdot\sin(ω_1t)\)





Würde mich um einen Ansatz zur Lösung der Aufgabe freuen!  frown



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rlk
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 10633
Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-16


Hallo Max,
wende das Newton-Axiom
$$m \ddot{u}=F$$ auf die beiden Massen an.

Die Namen $v_i$ für die Konstanten im Ansatz ist ungünstig, welche Bedeutung haben diese Größen?

Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland



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