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Mathematik » Stochastik und Statistik » Anwendung der Tschebyscheff-Ungleichung
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Universität/Hochschule J Anwendung der Tschebyscheff-Ungleichung
thepower180
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-15


Lieber Matheplanet,

ich habe Schwierigkeiten beim Zeigen der folgenden Ungleichung:
Sei X eine beliebige Zufallsvariable auf [0,1] mit E[x]=µ. Zeige:
\(Var(X)\leµ*(1-µ)\)

Ich habe es bislang mit der Tschebyscheff-Ungleichung versucht und würde mich über weitere Anregungen freuen.

Liebe Grüße
thepower180



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-15


Hallo thepower180,
überlege Dir, welche Dichte von X de größte Varianz liefert.

Servus,
Roland



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thepower180
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-15


Hallo Roland,

die größte Varianz müsste doch die folgende Dichte haben
\(f(x)=
\begin{cases}
0 & \text{für } x=[0; 0,5] \\
1 & \text{für } x= [0,5; 1]
\end{cases}\)
Nun ist \(E[X]=0,5\) und \(Var(X)=0,25\).
In diesem Fall gilt die Ungleichung. Doch wie kann ich dies nun allgemein zeigen?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-15


Hallo thepower180,

kannst du \(E(X^2)\leq E(X)\) zeigen?

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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thepower180
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-15


2019-12-15 18:15 - StrgAltEntf in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo thepower180,

kannst du \(E(X^2)\leq E(X)\) zeigen?

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Folgt diese Ungleichung nicht direkt aus der Definition des Erwartungswertes
\(\int x* f(x) dx\). Wegen x in [0,1] ist \(x^2\)\(\le\) x und somit folgt die Ungleichung.



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thepower180
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-15


Vielen Dank für eure schnelle Hilfe

Liebe Grüße
thepower180



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