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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Ebene Drehmatrix bestimmen
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Universität/Hochschule J Ebene Drehmatrix bestimmen
Dreadwar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-15


Hallo Leute, einen schönen Abend euch. Ich hätte da mal wieder eine Frage. Da das Thema komplett neu für mich ist und mich eine große Unsicherheit plagt, wollte ich mir hier ein eventuelles Feedback holen, ob ich einigermaßen richtig liege oder das Ziel komplett verfehlt habe.

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Ich bin für jede Hilfe dankbar!

Liebe Grüße und entschuldigt bitte die Menge an Text :)



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-16

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo Dreadwar,

zwar bilden die Drehmatrizen mit der Matrizenmultiplikation eine abelsche Gruppe, aber \(A\) ist keine solche Drehmatrix. Also musst du das Matrixprodukt genau andersherum auswerten, nämlich als Komposition von Abbildungen von rechts nach links.

Ich weiß nicht, ob das die alleinige Ursache ist, jedenfalls erhalte ich per CAS ein völlig abweichendes Ergebnis für das Matrizenprodukt.
Auch gestern abend, als ich es kurz noch schriftlich probiert hatte, hatte ich dieses Resultat ebenfalls erhalten.

Von daher solltest du das nochmals korrekt rechnen. Dann können wir die weiteren Fragen angehen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Dreadwar
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Dabei seit: 19.04.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-16


Hallo Dophant, danke für die Antwort!

Alles klar, das hilft mir schonmal sehr. Ich setzte mich dran und melde mich dann mit dem neuen Ergebnis zurück!

Liebe Grüße



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Dreadwar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-16


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Stimmt das mit deinem Ergebnis überein? Die Matrixmultiplikation ist ja assoziativ, als (AB)C = A(BC), so habe ich auch gerechnet. Meinst du mit der Ausführung der Produkte von rechts nach links etwa: CBA?



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-12-16

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

in Sachen Reihenfolge bei der Multiplikation hatte ich dich dann falsch verstanden, sorry.

Ich erhalte (mit Mathcad Prime 5):

\[U_{-\phi}\cdot A\cdot U_{\phi}=\bpm 2\cos^2(\phi)-\sin(2\phi)+1 & -\cos(2\phi)-\sin(2\phi)\\ -\cos(2\phi)-\sin(2\phi) & 2\sin^2(\phi)+\sin(2\phi)+1 \epm\]
Und damit hast du recht, (ich hatte mich vertan): das stimmt mit deiner Version schon überein, sorry.

Deine Lösung für \(\phi\) ist damit auch korrekt bis auf die Tatsache, dass sie nicht 2k- sondern k-periodisch ist (sie geht ja im Prinzip aus einem Arkustangens hervor).

Und damit sind wir beim Problem der Eindeutigkeit. Die ist hier nämlich nicht gegeben (ich weiß auch nicht, wie du auf den Wert \(-\frac{3}{8}\pi\) als möglichen Winkel gekommen bist).

Rechne mal die Werte für \(\mu\) und \(\lambda\) noch für \(\phi=\frac{3}{8}\pi\) durch, die sollten sich da gerade vertauschen.

Deine Antwort auf die letzte Frage ist prinzipiell richtig, wobei mir die Begründung irgendwie noch nicht so gut gefällt. Denn wie gesagt, \(A\) ist keine Drehmatrix. Ich würde hier eher eine geometrische Begründung bevorzugen, aber vielleicht gibt es auch eine bessere algebraische?


Gruß, Diophant  
\(\endgroup\)


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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-16

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo Leute,

die beiden Matrizen $U_{-\phi} A^n U_{\phi}$ und $(U_{-\phi} AU_{\phi})^n$ sind tatsächlich identisch. Das kann man sich überlegen, indem man verwendet, dass $U_\phi$ und $U_{-\phi}$ zueinander invers sind.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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Dreadwar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-16


@Diophant, alles klar dann passt das ja. Danke für den Hinweis mit der Periodizität! Zur Eindeutigkeit: Ich hatte bemerkt, dass sich die Vorzeichen der Wurzel gerade umdrehen für verschiedene Werte für phi, wusste aber nicht genau ob man dann noch von Eindeutigkeit sprechen kann. Das wäre damit auch beantwortet, auch dafür ein Dankeschön :D.

Zur letzten Frage: Meine Begründung dafür ist eher intuitiver Natur, da das Thema für mich noch komplett neu ist. Die geometrische Bedeutung ist mir hierbei noch nicht so ganz klar. Vielleicht kannst du mir da auf die Sprünge helfen. Was die MAtrix U mit A macht ist mir bewusst, die Bedeutung der Inversen kann ich mir nicht so ganz erklären.
Ich denke mit dem Tipp von Vercassivelaunos komme ich dann bestimmt auf eine handfeste Begründung.

Liebe Grüße




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Dreadwar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-16


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Liebe Grüße



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-12-16

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2019-12-16 12:56 - Dreadwar in Beitrag No. 6 schreibt:
@Diophant, alles klar dann passt das ja. Danke für den Hinweis mit der Periodizität! Zur Eindeutigkeit: Ich hatte bemerkt, dass sich die Vorzeichen der Wurzel gerade umdrehen für verschiedene Werte für phi, wusste aber nicht genau ob man dann noch von Eindeutigkeit sprechen kann. Das wäre damit auch beantwortet, auch dafür ein Dankeschön :D.

Genau, die (Eigen-)werte vertauschen sich je nachdem, ob k gerade oder ungerade gewählt wird.

2019-12-16 12:56 - Dreadwar in Beitrag No. 6 schreibt:
Zur letzten Frage: Meine Begründung dafür ist eher intuitiver Natur, da das Thema für mich noch komplett neu ist. Die geometrische Bedeutung ist mir hierbei noch nicht so ganz klar. Vielleicht kannst du mir da auf die Sprünge helfen. Was die MAtrix U mit A macht ist mir bewusst, die Bedeutung der Inversen kann ich mir nicht so ganz erklären.

\(A\) ist ja selbst eine Abbildung. \(U_{\phi}\) und \(U_{-\phi}\) sind Drehmatrizen mit dem gleichen Winkel, aber entgegengesetzem Drehsinn. Das Produkt \(U_{-\phi}\cdot A\cdot U_{\phi}\) dreht also die Ebene um den Winkel \(\phi\), führt anschließend die (affine) Abbildung \(A\) der Ebene in sich durch und dreht das ganze zum Schluss zurück, eben um den Winkel \(-\phi\).

Bei der n-fachen Hintereinanderausführung von \(A\) passieren diese Drehungen je nach Schreibweise zu unterschiedlichen Zeitpunkten. Im Fall \(U_{-\phi}\cdot A^n\cdot U_{\phi}\) wird einmal um \(\phi\) gedreht, dann die Abbildung \(A\) n-mal ausgeführt und am Ende zurückgedreht. Bei der Schreibweise \((U_{-\phi}\cdot A\cdot U_{\phi})^n\) wird vor jeder einzelnen Ausführung von \(A\) um \(\phi\) gedreht und sofort danach wieder zurückgedreht.

Und jetzt kommt die Eigenschaft ins Spiel, dass diese Drehungen zueinander invers sind: hintereinander ausgeführt ergeben sie ja gerade die Identität. Geometrisch gesprochen: jede Drehung wird durch die unmittlebar folgende "Rückdrehung" wieder aufgehoben.

Wenn du dir das algebraisch klarmachen möchtest, musst du nur die Potenz ausschreiben:

\[\left(U_{-\phi}\cdot A\cdot U_{\phi}\right)^n=U_{-\phi}\cdot A\cdot U_{\phi}\cdot U_{-\phi}\cdot A\cdot U_{\phi}\cdot\dotsc\cdot U_{-\phi}\cdot A\cdot U_{\phi}\]
Und dabei löst sich jedes Paar \(U_{\phi}\cdot U_{-\phi}\) in Wohlgefallen auf.  smile

EDIT: du warst schneller.  wink


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
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Dreadwar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-16


@Diophant, super danke für die Erklärung. Das zurückdrehen hatte ich mir auch gedacht, war mir aber nicht sicher. Die Info mit den verschiedenen Zeitpunkten hat sehr zum Verständnis beigetragen. Dann bedanke ich mich nochmals für die super tolle Hilfe und wünsche euch noch eine schöne Woche

Liebe Grüße



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