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Funktionentheorie » Integration » Cauchy-Integralformel und Cauchy's Theorem
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Universität/Hochschule Cauchy-Integralformel und Cauchy's Theorem
Nito1398
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.11.2019
Mitteilungen: 12
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-16


Hallo,

ich versuche gerade Schritte im Beweis der Cauchy-Integralformel nachzuvollziehen, die lautet:



An einer Stelle wird in meiner Literatur Folgendes gemacht:

wobei die beiden Kurven so aussehen:


Ich habe nur zur ersten Zeile eine Frage: Wie führt Cauchy's Theorem zur ersten Zeile? Ist es weil beide Seiten Null ergeben, da es geschlossene Kurven sind und deswegen äquivalent sind?

Cauchy's Theorem:




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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 687
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-16

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo Nito1398,

nein, das ist nicht der Grund. Denn $\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}$ ist nicht analytisch auf einer einfach zusammenhängenden Menge. Im Punkt $\zeta=z$ ist diese Funktion nämlich gar nicht definiert, der Bereich, in dem sie analytisch ist hat also ein Loch. Den Integralsatz darf man nur verwenden, wenn im Inneren der Kurve kein Loch ist, denn dann ist die Funktion auf dem relevanten einfach zusammenhängenden Gebiet analytisch.
Das lässt sich hier erreichen, indem man $C$ mit $C_\delta$ verbindet. Nimm eine Verbindungsstrecke $S$, die einen Punkt von $C$ mit einem Punkt von $C_\delta$ verbindet. Definiere dann eine neue Kurve als $C+S-C_\delta-S$, das heißt erst $C$ im Uhrzeigersinn abfahren, dann die Verbindung $S$ zu $C_\delta$, dann $C_\delta$ gegen den Uhrzeigersinn, dann die Verbindungsstrecke $S$ zurückfahren. Diese kombinierte Kurve schließt die Singularität bei $\zeta=z$ nicht mehr mit ein, das Integral über die gesamte Kurve ist also 0. Die Integrale über $S$ und $-S$ heben sich auf, weil es sich um die selbe Strecke in unterschiedlicher Richtung handelt. Damit ist das Integral über $C$ plus das Integral über $-C_\delta$ gerade 0. Dann muss aber das Integral über $C_\delta$ gleich dem Integral über $C$ sein.

Hier ist ganz oben ein Bild von dem Sachverhalt zu sehen.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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PhysikRabe
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2192
Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-12-16


Dieser Sachverhalt wird übrigens in der Literatur manchmal (auf englisch) "deformation theorem" genannt, siehe hier, oder hier auf Seite 24 (Lemma 4) für eine anschauliche Abbildung.

Grüße,
PhysikRabe


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"Non est ad astra mollis e terris via" - Seneca
"Even logic must give way to physics." - Spock



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