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Gewöhnliche DGL » DGLen 1. Ordnung » Lösungskurve einer DGL skizzieren
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Autor
Universität/Hochschule J Lösungskurve einer DGL skizzieren
maxmustermann9991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
Gegeben ist folgende DGL:
$$\text{ y'(t) }=1+\cos(y)$$
Man soll die allgemeine Lösung grafisch im Intervall \(y\in[-\pi ; 3\pi]\) bestimmen sowie zusätzlich die Lösungskurven einzeichnen.

So, die allgemeine Lösung grafisch wäre ja einfach die Funktion \(f(y)=1+\cos(y)\):



Wie bestimme ich jetzt aber die geforderten Lösungskurven grafisch?
\(\endgroup\)


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Caban
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Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-24


Hallo

Wie hast du allgemeine lösung bestimmt?

Gruß Caban



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maxmustermann9991
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
Einfach quasi die rechte Seite der \(y'\)-Funktion einskizziert.
Habs dann mit den Lösungen verglichen und dort wird das genauso gehandhabt.

Die Lösungskurven sollen wie folgt aussehen:


Nur darauf kann ich mir noch keinen Reim bilden.
\(\endgroup\)


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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-24


Hallo

Nein, so einfach geht das nicht, du musst die Gleichung erst lösen. Trennung der Variablen würde hier gehen.

Gruß Caban



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-12-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo Max,

das Problem an der Sache heißt: autonome Differentialgleichung. Davon spricht man, wenn die unabhängige Variable (hier \(x\)) nicht explizit vorkommt.

Was du gezeichnet hast ist der Graph der Ableitung \(y'\) in Abhängigkeit von \(y\). Und zwar in einem Koordinatensystem, bei dem die waagerechte Achste die y-Achse und die senkrechte die y'-Achse ist. Das hat also mit dem xy-Koordinatensystem für die Lösungskurven eigentlich nicht direkt etwas zu tun.

Das musst du jetzt geeignet interpretieren, um auf die Gestalt der Lösungskurven zu kommen.

Überlege dir dazu als erstes

- warum müssen diese streng monoton steigend sein?
- was ist der Grund für die beiden waagerechten Asymptoten?

Wenn du nach Informationen im Netz suchen möchtest (die sind allerdings eher dünn gesät), dann suche mal nach 'Richtungsfeld einer autonomen DGL' oder etwas in der Art.

Deine allgemeine Lösung ist falsch. Man kann diese Lösung hier durch Trennung der Variablen erhalten, das führt halt auf ein recht anspruchsvolles Integral mit verblüffend einfacher Lösung. Wenn du es von Hand knacken möchtest, musst du die eine oder andere Halbwinkelformel verwenden.

So viel sei verraten: die Lösungsfunktionen sind Arkustangensfunktionen.


Gruß & frohe Weihnachten, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]

[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'DGLen 1. Ordnung' von Diophant]
\(\endgroup\)


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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-24


Das haut so nicht hin.

Du hast $y'(t) = 1+\cos\bigl(y(t)\bigr)$ angegeben.

Also $\dfrac{d y(t)}{dt} = 1+\cos\bigl(y(t)\bigr)
~\Leftrightarrow~
\dfrac{d y}{1+\cos\bigl(y\bigr)} = dt$.

Das lässt sich direkt integrieren, wenn man die Ableitungen der Standardfunktionen und die trigonometrischen Standardbeziehungen gut kennt:

$\bigl( \tan(x)\bigr)' = \dfrac{1}{\cos^2(x)}
= \dfrac{1}{\frac12 \bigl( 1+\cos(2x)\bigr)}
$;    da    $2\cos^2(\alpha)=1+\cos(2\alpha)$;

entsprechend für hier  $\dfrac{d}{dy} \tan\left(\frac{y}{2} \right)
=\frac12 \dfrac{1}{\frac12 \bigl( 1+\cos(y)\bigr)}
= \dfrac{1}{1+\cos(y)}
$

Also: $\displaystyle
\int \dfrac{1}{1+\cos\bigl(y\bigr)} \, d y
=  \tan\left(\frac{y}{2} \right)
= \int 1\, dt
= t + C$

bzw.     $\underline{\underline{
y(t) =2\,\arctan(t+C)
}}$





[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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maxmustermann9991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
Mit Trennung der Variablen erhalte ich am Ende eine Gleichung, die wie folgt lautet:

$$y(t)=2\cdot\arctan(t+C)$$
Und dann, je nachdem welches C ich einsetzen (kann ich frei wählen), erhalte ich diese Schar von Lösungskurven.


2019-12-24 17:04 - maxmustermann9991 in Beitrag No. 2 schreibt:

Die Lösungskurven sollen wie folgt aussehen:




Aber was ist dann mit mit der allgemeinen Lösung gemeint, die ich ebenfalls einzeichenn soll?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

könntest du den Aufgabentext im Originalwortlaut wiedergeben?

Wie schon gesagt: es geht hier grob um folgendes. Normalerweise würdest du Punkte in die DGL einsetzen, um Steigungen zu bestimmen und so über ein Richtungsfeld zur Gestalt der allgemeinen Lösung zu gelangen.

Das funktioniert hier nicht, weil die DGL autonom ist (man kann keine x-Koordinaten einsetzen).

Also ist grob folgende Vorgehensweise angedacht:

- die Ableitung \(y'\) als Funktion der eigentlichen Funktion \(y\) in ein y-y'-Koordinatensystem zu zeichnen (hast du ja richtig gemacht) und dann daraus
- den Verlauf der Lösungsfunktionen zu gewinnen.

Meiner Ansicht nach macht das keinen so großen Sinn, das in ein Koordinatensystem zu packen (wenn, dann musst du beide Achsen doppelt beschriften). Von daher wäre es hilfreich, wenn wir den Originaltext hätten.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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maxmustermann9991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
Hmmm, dann sollte ich es vielleicht bei der Schar einfach belassen.

Der Originaltext lautet wie folgt:


Lösen Sie die DGL: \(\text{ y'(t) }=1+\cos(y)\)
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung (qualitativ) grafisch im Intervall \(y\in[-\pi ; 3\pi]\) und skizzieren Sie die Lösungskurven.
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-12-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2019-12-24 18:03 - maxmustermann9991 in Beitrag No. 8 schreibt:
Hmmm, dann sollte ich es vielleicht bei der Schar einfach belassen.

Der Originaltext lautet wie folgt:


Lösen Sie die DGL: \(\text{ y'(t) }=1+\cos(y)\)
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung (qualitativ) grafisch im Intervall y\(\in[-\pi ; 3\pi]\) und skizzieren Sie die Lösungskurven.


Sicher, dass das nicht \(x\in[-\pi ; 3\pi]\) heißt? Das würde jedenfalls dann auch zu der Lösungsskizze passen.

Und so formuliert verstehe ich es eher so, dass man die DGL zunächst analytisch lösen soll und dann grafisch auf dem von mir beschriebenen Weg.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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maxmustermann9991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
2019-12-24 18:07 - Diophant in Beitrag No. 9 schreibt:

Sicher, dass das nicht \(x\in[-\pi ; 3\pi]\) heißt? Das würde jedenfalls dann auch zu der Lösungsskizze passen.

Ich gehe stark von aus, dass es ein \(x\) sein soll, auch wenn das Intervall hier schwarz auf weiß mit \(y\) angegeben ist.
Denn in der Lösung ist die grafische Lösung von #1 enthalten, aber seine Achsen sind jeweils mit \(f(y)\) (auf der \(y\)-Achse) sowie \(x\) beschriftet und nicht mit \(y\) auf der \(x\)-Achse.
\(\endgroup\)


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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-12-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo nochmals,

ich habe über diese Angabe nochmals nachgedacht. Sie könnte doch stimmen und folgenden (Hinter-)Sinn haben: dass man nämlich aus den Zusammenhängen zwischen Funktionswert und Steigung oberhalb von \(\pi\) Widersprüche erkennt und so einsieht, dass hier \(-\pi<y<\pi\) gelten muss.

Außerdem würden ja für eine Arkusfunktion Vielfache von \(\pi\) für die Einschränkung des Urbildbereichs auch nicht wirklich Sinn machen.

Nachtrag: ich hatte übersehen, dass ja laut Themenstart die unabhängige Variable t ist und nicht x. In deiner Lösungsskizze steht allerdings x. Da solltest du für dich noch klären, welche Variante gefragt ist.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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lula
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Aus: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-12-25


Hallo
ich denke, dass du das einfache Richtungsfeld zeichnen sollst, und dazu dann einige Lösungskurven skizzieren, etwa wie in meinem Bildchen. die Dgl zu lösen, macht bei dem Text der Aufgabe nicht so viel Sinn.
Gruß lula



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Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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