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Analysis » Maßtheorie » Vergleich von Maßen auf σ-Algebra
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Universität/Hochschule Vergleich von Maßen auf σ-Algebra
marido
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Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-30


Ich habe eine Frage zu folgendem Beweis:

Sei $\mathcal{H}$ $\subseteq$ $\mathcal{P}(X)$ ein Halbring und $\mu$ und $\nu$ Maße auf $\sigma(\mathcal{H})$=: $\mathcal{A}$ mit $\mu |_\mathcal{H}$ and $\nu |_\mathcal{H}$ und beide $\sigma$-endlich auf $\mathcal{H}$. Zeige dass:  
a.) Wenn $\mu(A) \le \nu(A) \ \forall A \in \mathcal{H}$, dann $\mu(A) \le \nu(A) \ \forall A \in \mathcal{A}$  
b.) Die Behauptung in a.) stimmt nicht mehr wenn der Halbring $\mathcal{H}$ durch einen durchschnittstabilen Erzeuger $\mathcal{E}$ ersetzt wird.  

Bisher habe ich folgendes
a.) Sei  $A \in \mathcal{A}$. Sei $(E_{i,n})_{n \ge 1}$ $i \in I$ die Familie der $\mathcal{H}$-Überdeckungen von A.

Für jedes  $i \in I$ ist $\sum_{n \ge 1} \mu(E_{i,n}) \le \sum_{n \ge 1} \nu(E_{i,n}) \Rightarrow \inf_i\lbrace \sum_{n \ge 1} \mu(E_{i,n})\rbrace \le \inf_i\lbrace \sum_{n \ge 1} \nu(E_{i,n}) \rbrace$.  

Ich bin mir nicht sicher ob dieser Schluss zulässig ist. Und da ich eigentlich keine Eigenschaften eines Halbrings vorausgesetzt habe habe ich auch keine Idee wie ich b.) prüfen soll.



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Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
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Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-30


Hi,
ich kenne den Begriff des Halbrings nicht, aber ich vermute, dass der Beweis auf das Prinzip er guten Menge beruht. Du definierst dir eine Menge mit Elementen, die die geforderte Eigenschaft erfüllt. Zeigst, dass sie eine \(\sigma\)-Algebra ist oder so und erhälst, dass deine Menge schon die ganze Menge selbst ist. Falls du das Prinzip nicht kennst, kannst du dir einige Beweise dazu anschauen. Ich glaube es gibt den Satz wo die Ungleichung eine Gleichheit ist und dort wird es genau so bewiesen. Dann wirst du auch bestimmt sehen, wo du die Eigenschaft eines Halbrings benutzt hast, um zu zeigen, dass deine Menge eine \(\sigma\)-Algebra ist.

Red_



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marido
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.12.2011
Mitteilungen: 44
Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-30


Hi,
ja ich kenne das Prinzip der guten Mengen. Bin mir aber nicht sicher ob dieses Prinzip hier anwendbar ist. Bei dem Beweis mit der Gleichheit bildet ja die Menge $\lbrace A \in \mathcal{A} :  \mu(A) = \nu(A) \rbrace$ ein Dynkin-System das spezielle Eigenschaften hat die im Beweis benützt werden.
Bei Ungleichheit habe ich das nicht.

Die erste Frage ist ja einmal, ob mein Beweis für a.) korrekt ist.



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Red_
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Mitteilungen: 662
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-30


Na gut, dann stelle ich erstmal ein paar Fragen:

mit $\mu |_\mathcal{H}$ and $\nu |_\mathcal{H}$ und beide $\sigma$-endlich auf $\mathcal{H}$.

Was heißt das? Sigma-Endlichkeit ist nur auf Messräumen definiert, aber \(H\) ist ein Halbring. Willst du die Definition einfach für Halbringe dann übertragen?


Bisher habe ich folgendes
a.) Sei  $A \in \mathcal{A}$. Sei $(E_{i,n})_{n \ge 1}$ $i \in I$ die Familie der $\mathcal{H}$-Überdeckungen von A.
Wie ist eine H-Überdeckung definiert?

Wie folgerst du am Ende, dass die beiden Infimums gerade die Maße von A sind?




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marido
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Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-30


$\mu$ ist $\sigma$-endlich auf $\mathcal{H}$ wenn es eine Folge $(E_n)_{n \ge 1}$ gibt, sodass $\mu(E_n) < \infty$ für alle $n \in \mathbb{N}$ und $\bigcup_{n \ge 1} = X$ ist.

Eine $\mathcal{H}$-Überdeckung $A$ ist eine Folge $(E_n)_{n \ge 1}$ in $\mathcal{H}$ mit $A \subseteq \bigcup_{n \ge 1} E_n$.


Das Maß $\mu$ auf $\sigma(\mathcal{H})$ ist ja gleich dem äußeren Maß $\mu^*$ welches vom Prämaß auf dem Halbring, was ich hier ebenfalls mit $\mu$ bezeichnet habe, erzeugt wird. Und die Definition des äußeren Maßes ist eben $\mu^*(A) = \inf \lbrace \sum_{n \ge 1} \mu(E_n) : (E_n)_{n \ge 1} \text{ist eine H-Überdeckung von A} \rbrace$



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