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Moderiert von Wally haerter
Differentialgleichungen » Partielle DGL » Existenz System linearer PDEs 1. Ordnung mit Lumer-Phillips
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Universität/Hochschule Existenz System linearer PDEs 1. Ordnung mit Lumer-Phillips
kumquat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-02


Hallo,

momentan versuche ich folgenden Artikel zu verstehen:

 G. Favre, C. Schmeiser, Hypocoercivity and fast reaction limit for linear reaction networks with kinetic transport (2019)
Man findet ihn auf arXiv:1901.08288.
arxiv.org/pdf/1901.08288.pdf

Mein Problem ist, dass dort über die Existenz und Eindeutigkeit des betrachteten PDE-Systems keine wirkliche Aussage gemacht wird, auch nichts zitiert dazu, außer im Abstract : "Existence and uniqueness for given total mass are standard results of the theory of chemical reaction networks."
Das hilft mir nun nicht wirklich weiter.

Konkret geht es um das folgende lineare PDE-System 1. Ordnung mit $f=f(x,v,t), x \in \mathbb{R}^d bzw. \mathbb{T}^d, v \in \mathbb{R}^d, t>0$
$$ \partial_t f + Tf = Lf $$ mit dem Transportoperator $T$ und dem Reaktionsoperator $L$, definiert durch $$ (Tf)_i = \sigma_i v \cdot \nabla_x f_i, \qquad (Lf)_i = \sum_{j=1}^N (k_{ij}\rho_jM_i - k_{ji}f_i), \qquad i=1,\dots, N. $$  Der Operator L ist übrigens beschränkt.
Genauere Definitionen stehen im Artikel.

Nun ist es so, dass man ja durch das Lemma 3 auf S.6 aus dem Artikel und der Schiefsymmetrie von T sofort die Dissipativität vom Operator (L-T) und damit sicher mal die Eindeutigkeit.

Für die Existenz dachte ich mir würde sich der Satz von Lumer-Phillips aus der Halbgruppentheorie anbieten und da wir hier auf einem Hilbertraum sind, müssten wir Dissipativität zeigen und die Surjektivität von $\lambda1 - (L-T)$.
Die Surjektivität von $\lambda1 - (L-T):\mathcal{H} \cap H^1(\Omega) \to \mathcal{H}$ für ein $\lambda > 0$ ist äquivalent zum Lösen der Resolventengleichung. Wir müssen somit zeigen, dass für alle $g \in \mathcal{H}$ mindestens ein $f \in \mathcal{H} \cap H^1(\Omega)$ existiert, sodass
$$\lambda f - (L-T)f = g$$ gilt
Nur hab ich damit Probleme, da ich keine wirkliche Erfahrung mit Systemen von PDEs habe.
Wie löst man sowas? Ist das überhaupt der richtige Weg/Ansatz?

Wäre für Hilfe sehr dankbar!



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