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Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » Integraloperatoren für Randeigenwertproblem
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Autor
Universität/Hochschule Integraloperatoren für Randeigenwertproblem
Kolibri1990
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 03.01.2020
Mitteilungen: 2
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-03


Hallo

ich sitze derzeit an einer Aufgabe und komme nicht wirklich weiter.
Folgende Aufgabe ist gegeben, ein Eigenwertproblem:

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Bestimmte den Integraloperator und alle Eigenwerte zu diesem sowie die Norm.

Nun hab ich die Greensche Funktion bestimmt:

fed-Code einblenden

Aber nun komme ich nicht weiter. Ich weiß, dass für einen selbstadjungierten Integraloperator gilt:

fed-Code einblenden

Aber sobald ich versuche daraus abzuleiten komme ich nicht weiter.

Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen und ich habe das Problem einigermaßen umschrieben

Gruß, Kolibri



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AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3256
Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-03


Huhu Kolibri und herzlich Willkommen auf dem Matheplaneten!

Leider verstehe ich nicht so ganz, worauf die Aufgabe abzielt bzw. worin Deine Probleme bestehen.

Du hast zum Operator $L=\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}+I$ und unter den Dirichlet-Randbedingungen (PS. gilt eine solche auch in $\pi$?) die (dann korrekte) Green'sche Funktion $G$ bestimmt. Damit ist also der inverse Sturm-Liouville-Operator ("Green-Operator") $L^{-1}$ gegeben durch $L^{-1} \, f(x) = \int_0^\pi G(x,t)f(t) \, \mathrm{d}t$. Sofern das mit "dem Integraloperator" gemeint ist:

Inwiefern hängen wohl dessen Eigenwerte mit den Eigenwerten $\lambda_k$ und den Eigenfunktionen $f_k$ des SL-Operators $L$ zusammen? Beachte, dass $G(x,t) = \sum_{k=0}^\infty \frac{f_k(x) \cdot \overline{f_k(y)}}{\lambda_k \cdot (f_k, f_k)_{L^2}}$ gilt.

Wie kannst Du daraus auf die Norm des Operators schliessen?

lg, AK.



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Kolibri1990
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 03.01.2020
Mitteilungen: 2
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-09


Hallo,

danke schon einmal für die Antwort. Ich bin noch immer ein bisschen überfragt aber vielleicht habe ich auch einen Denkfehler. Ich habe nun mal die Eigenwerte und Eigenfunktionen der DGL bestimmt:

1) fed-Code einblenden

2) fed-Code einblenden

die Eigenwerte habe ich ja damit oder?

Nun muss ich den Betrag berechnen. Wenn ich es richtig verstanden habe gilt:
fed-Code einblenden

Ist das richtig?
Danke schonmal im Voraus



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