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Gewöhnliche DGL » DGLen 1. Ordnung » Stabilität einer autonomen DGL 1. Ordnung
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Universität/Hochschule Stabilität einer autonomen DGL 1. Ordnung
tim18
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-11


Hallo zusammen,

ich bin neu hier im Forum, da ich immer wieder mal auf die ein oder andere Problemstellung in der Mathematik etc. stoße und oft die Lösung in diesem Forum gefunden habe, dachte ich mir ich melde mich hier mal an :).

Aktuell stehe ich gerade wieder vor einem kleinen Verständnisproblem bei autonomen DGL's 1. Ordnung, und zwar geht es um dessen Stabilität.

Ich verstehe eigentlich schon die Vorgangsweise um einen Fixpunkt und dann dessen Stabilität zu bestimmen.

Also den Fixpunkt ermittle ich indem ich y' null setze und dann nach y umstelle. Da die DGL autonom ist bedeutet dies das für alle x an dieser Stelle y eine konstante Lösung vorliegt, wessen Ableitung logischerweise 0 ist.

Wenn ich die Stabilität des Fixpunktes ermitteln will dann bin ich bisher so vorgegangen das ich (wie hier im Forum in einem anderen Beitrag gesehen) nach y'(y) umstelle, und dann einmal y'(y) mit y+Offset und dann y-Offset betrachte. Zeigen die Pfeile des Richtungsfelds der betrachteten Y+/- Offset Punkte aufeinander zu, dann ist der Fixpunkt stabil, zeigen diese voneinander weg, dann ist der Fixpunkt instabil.

Soweit so gut, was ich jetzt nicht verstehe ist die Vorgangsweise mit der Linearisierung. Hier wird ja die nach y' umgestellte DGL als f(y)betrachtet, dann erneut abgeleitet also f'(y), dann wird der Fixpunkt (sagen wir y0) in f'(y) eingesetzt, dann gilt für:

1.) f'(y0) < 0 der Fixpunkt ist stabil
2.) f'(y0) > 0 der Fixpunkt ist instabil

Warum ist das so?
Wenn ich mich nicht irre ist f'(y) doch wie y'', was dann eigentlich die Krümmung darstellt, setzte ich dann y0 ein so müsste dies doch die Krümmung der Funktionsschaar an der Stelle y0, für alle x sein?

Was sagt mir das?

Hier ein konkretes Beispiel:

y'-2y = 2

1.) Fixpunkt
y0= -1

2.) Stabilität:
y'= 2-2y

3.) Linearisierung
setzte y' = f(y)
f(y) = y'
f(y) = 2-2y

Ableiten f(y)
f'(y) = -2 < 0 und somit Stabil



Ich hoffe ich konnte mein Verständnisproblem einigermaßen verständlich erklären (Hört sich irgendwie lustig an  😁 )

Danke euch für eure Hilfe und schönen Tag noch

liebe Grüße aus Österreich

Tim






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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-12


Hallo tim18,
herzlich willkommen auf dem Matheplanet! So neu wie du auf dem Matheplanet bist, so neu bin ich bei autonomen DGL. Deshalb meine Antwort entsprechend kritisch lesen und nicht allzuviel erwarten 😉

In https://www.physik.uni-muenchen.de/lehre/vorlesungen/wise_13_14/r_rechenmethoden/skript/PDFS/25-C7-vor-DifferentialGleichungen-III.pdf auf Blatt C7.5i (pdf-Reader Seite 5) bezieht sich f'(y)<0 auf den Kurvenverlauf von f(y) bezüglich y. Also ist mit f'(y) eher die Ableitung nach y gemeint und nicht die Ableitung nach der Variablen, mit der y' berechnet wird.

Viele Grüße,
  Stefan



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