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Lineare Algebra » Eigenwerte » Eigenvektoren einer Matrix berechnen
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Universität/Hochschule Eigenvektoren einer Matrix berechnen
xxxyyy
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 09.04.2016
Mitteilungen: 58
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-11


Hallo,

wie haben bisher die Eigenvektoren einer 2x2 Matrix berechnet.
Dazu haben wir mit dem char Polynom erst die Eigenwerte berechnet und dann in die Bestimmungsgleichung für die Eigenvektoren eingestzt. Dann haben wir argumentiert, dass beide Zeilen voneinander linear abhängig sein müssen und daher nur eine Zeile herausgepickt und damit den Eigenvektor berechnet.

Wie sieht das bei 3x3 Matrizen aus? Kann ich da auch willkürlich eine Zeile herauspicken? Ich denke nicht, da wir ja nur wissen, dass alle 3 Zeilen linear abhängig sind aber nicht welche 2 linear unabhängig sind, oder?
Daher würde ich auch zuerst das char Polynom berechnen und die Eigenwerte berechnen. Dann die Matrix (lambda-I-A) aufstellen und mit Gaus in eine obere Dreiecksform bringen. Dann ergibt sich in meinem Beispiel eine Nullzeile (ist das immer so, dass sich gerade EINE Nullzeile ergibt?). Dann rechne ich die Matrix mal (v1,v2,v3) Vektor und löse die entstehenden Gleichungen. Wobei ich ein v beliebig wählen kann.
Gibt es eine Möglichkeit die Eigenvektoren auch direkt aus der Matrix abzulesen d.h. ohne „mal den Vektor“ zu rechnen?

Danke vorab :)



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StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3495
Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-12


Hallo xxxyyy,
nicht eine linear abhängige Zeile herauspicken und damit den Eigenvektor berechnen sondern eine linear abhängige Zeile herausstreichen und mit den übrigen Zeilen den Eigenvektor berechnen. Eventuell noch weitere Zeilen herausstreichen, die von anderen Zeilen linear abhängig sind.

2020-01-11 23:11 - xxxyyy im Themenstart schreibt:
Hallo,

wie haben bisher die Eigenvektoren einer 2x2 Matrix berechnet.
Dazu haben wir mit dem char Polynom erst die Eigenwerte berechnet und dann in die Bestimmungsgleichung für die Eigenvektoren eingestzt. Dann haben wir argumentiert, dass beide Zeilen voneinander linear abhängig sein müssen und daher nur eine Zeile herausgepickt und damit den Eigenvektor berechnet.

In dem Fall (Eigenwerte einsetzen) sind beide Zeilen linear abhängig aber nicht unbedingt beide Zeilen voneinander linear abhängig. Das ist ein Unterschied, den man beim Herausstreichen beachten muss: In der Matrix

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}\)

kann man eine der beiden Zeilen herausnehmen und mit dieser oder der anderen den Eigenvektor berechnen. Dagegen in der Matrix

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)

muss man stets die erste Zeile für die Bestimmung des Eigenvektors verwenden.


Wie sieht das bei 3x3 Matrizen aus? Kann ich da auch willkürlich eine Zeile herauspicken? Ich denke nicht, da wir ja nur wissen, dass alle 3 Zeilen linear abhängig sind aber nicht welche 2 linear unabhängig sind, oder?

Wenn du mit Absicht nur linear abhängig und nicht linear voneinander abhängig geschrieben hast, dann ist das richtig begründet, man kann nicht willkürlich eine Zeile herauspicken. Auch hier gibt es wieder verschiedene Varianten: Jede Zeile ist von den beiden anderen linear abhängig

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}\)

da kann man beliebig eine Zeile herausstreichen und die übrigen weiter verwenden. Wenn nur zwei Zeilen voneinander linear abhängig sind wie in

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}\)

da muss man in dem Beispiel aus der zweiten zusammen mit der ersten oder dritten Zeile den Eigenvektor bestimmen. Weitere Variante, jede Zeile ist von jeder anderen linear abhängig,

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}\)

dann reicht eine Zeile für die Eigenwertberechnung. Noch etliche weitere Varianten gibt es dann mit einer oder mehreren Nullzeilen.


Daher würde ich auch zuerst das char Polynom berechnen und die Eigenwerte berechnen. Dann die Matrix (lambda-I-A) aufstellen und mit Gaus in eine obere Dreiecksform bringen.

Ja, gleich mit dem Gauß-Algorithmus loslegen ist richtig.


Dann ergibt sich in meinem Beispiel eine Nullzeile (ist das immer so, dass sich gerade EINE Nullzeile ergibt?). Dann rechne ich die Matrix mal (v1,v2,v3) Vektor und löse die entstehenden Gleichungen. Wobei ich ein v beliebig wählen kann.

Nein, es können auch mehrere Nullzeilen entstehen.


Gibt es eine Möglichkeit die Eigenvektoren auch direkt aus der Matrix abzulesen d.h. ohne „mal den Vektor“ zu rechnen?

Nein, ohne ein Lösungsverfahren, dass die vollständige Lösungsmenge oder wenigstens eine Basis davon bestimmt, geht es nicht.

Viele Grüße,
  Stefan



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