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Mathematik » Stochastik und Statistik » Diskrete Martingaltransformation nicht quadratintegrierbar
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Universität/Hochschule J Diskrete Martingaltransformation nicht quadratintegrierbar
mpc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-12


Hallo,
Ich will ein \((\mathcal{F}_n)_{n \in \mathbb{N}}\) - Martingal \( (X_n)_{n \in \mathbb{N}}\) , mit \(X_n \in L^2 \forall n\), und einen vorhersehbaren Prozess \((H_n)_{n \geq 1}\) , mit \(H_n \in L^2 \forall n \geq 1\) , definiert auf demselben filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum, finden, sodass die Martingaltransformation \( I_1(H):= H_1 *(X_1 - X_0)\) nicht mehr quadratintegrierbar ist.

Als Tipp habe ich, Standard-Pareto- verteilte ZV zu betrachten. Also mit der Verteilungsdichte \(f_p(x):= \frac{p}{x^{p+1}}\) für \(x\geq 1\) , und \(f_p = 0\) sonst, für einen Parameter \(p\).

Es ist mir bekannt, dass für ein so verteiltes \(X\) dann \(E[X^l]=\frac{p}{p-l}\) für \( l \in [1,p)\) existiert, aber nicht mehr für \(l=p\).

Ideal wäre es also wohl , wenn ich zusammenbringen könnte, dass \(I_1(H)\) ~  Pareto(2).

Nun weiss ich aber nicht mehr weiter.
Ich bitte um Hilfe.
LG



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mpc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-18


Hier eine Lösung:

\( (B_t)_t\) sei eine Standard Brownsche Bewegung. Sei \(Y\) ~ \(Pareto(3)\) , \(\mathcal{F}_0\)- messbar, und unabhängig von { \( B_0 , B_1 \)}. Sei \(X_1 \) ~ \(\frac{1}{Y} + Y B_1\) , \(X_0\) ~ \(\frac{1}{Y} + Y B_0\) , und \(H_1\) ~ \(Y\) . Dann folgt \( E[I_1(H)^2] = \) \( E[Y^4(B_1-B_0)^2] = \) \( E[Y^4]*E[(B_1-B_0)^2] \) = \(\infty\), wegen der Eigenschaft der Pareto Verteilung aus dem ersten Post.



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