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Lineare Algebra » Determinanten » Matrix auf obere Dreiecksform, Determinantenformel
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Universität/Hochschule J Matrix auf obere Dreiecksform, Determinantenformel
Shurian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-14


Hallo Leute! Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter

Sei $K$ ein Körper und $n \geq 1$. Für $x,y \in K$ betrachten wir die Matrix $A = (a_{ij})_{ij} \in M_{n,n}(K)$ die definiert ist durch $a_{ij} = x$ falls $i = j$ bzw $a_{ij} = y$ falls $i \neq j$. Bringen Sie $A$ mittels geeigneter Zeilen- und Spaltenumformungen auf obere Dreiecksform und zeigen Sie: det($A$) = $(x + (n-1)y)\cdot(x-y)^{n-1}$

Für die Fälle $x = y = 0$, $x = y \neq 0$ und $n = 1, 2$ habe ich die Aussage bereits gezeigt. Dann habe ich eine 3x3-Matrix betrachtet. Nach Definition stehen auf der Hauptdiagonalen $x$ und sonst überall $y$. Nun habe ich versucht A auf obere Dreiecksmatrix zu bringen, damit ich einfach die Diagonalelemente multiplizieren kann und die Determinante rauskriege. Allerdings sind die Zeilenumformungen furchtbar hässlich und am Ende kommt nichteinmal die behauptete Form heraus.

Gibt es einen einfacheren (weniger umständlichen Weg) der sich mir gerade nicht erschließt?





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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-14


Hallo,

dein Weg, Zeilen- und Spaltenumformungen vorzunehmen, ist auf jeden Fall richtig und wird auch funktionieren.

Du kannst alternativ Eigenvektoren raten. Das geht auch sehr schnell.



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Shurian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-14


Eigenvektoren hatten wir leider noch nicht in der Vorlesung.

Ich hab jetzt erstmal probiert die Matrix zu zerlegen

$$\left(
\begin{array}{ccc}
x & y & y \\
y & x & y \\
y & y & x \\
\end{array}
\right) =

\left(
\begin{array}{ccc}
1 & yx^{-1} & yx^{-1} \\
yx^{-1} & 1 & yx^{-1} \\
yx^{-1} & yx^{-1} & 1 \\
\end{array}
\right) \cdot

\left(
\begin{array}{ccc}
x & 0 & 0 \\
0 & x & 0 \\
0 & 0 & x \\
\end{array}
\right)$$
Nun gilt also
$$ det(A) = det\left(\left(
\begin{array}{ccc}
1 & yx^{-1} & yx^{-1} \\
yx^{-1} & 1 & yx^{-1} \\
yx^{-1} & yx^{-1} & 1 \\
\end{array}
\right) \cdot

\left(
\begin{array}{ccc}
x & 0 & 0 \\
0 & x & 0 \\
0 & 0 & x \\
\end{array}
\right)\right) = det\left(\left(
\begin{array}{ccc}
1 & yx^{-1} & yx^{-1} \\
yx^{-1} & 1 & yx^{-1} \\
yx^{-1} & yx^{-1} & 1 \\
\end{array}
\right)\right) \cdot x^3$$
Wie kann man nun die linke Matrix auf obere Dreiecksform bringen? Das ist doch total unhandlich und außerdem weiß doch nichts über die Struktur der Inversen im Körper?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-15


Hallo nochmal,

wende den Gauss-Algorithmus an. Ziehe beispielsweise die erste Zeile von jeder anderen ab. Dadurch verändert sich die Determinante ja nicht.

Alternativ kannst du Eigenvektoren "raten". Die Matrix ist symmetrisch, damit gibt es eine ONB an Eigenvektoren.



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