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Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Kern und Bild von bestimmter Matrix
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Universität/Hochschule Kern und Bild von bestimmter Matrix
Holygagi
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.01.2020
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-15


Guten Abend,
Ich sitze seid ein paar Stunden an den Aufgaben b) und c):



Meine Vermutung für Aufgabenteil b ist, dass ich x1, x2, x3 in meine Matrix einsetzen soll und falls dort der Nullvektor rauskommt, dann liegt der Vektor im Kern von A. Macht meine Vermutung Sinn?

Bei Aufgabenteil (c) weiß ich dass ich beispielsweise mithilfe des Gleichungssystems eine Lösungsmenge für alpha ausrechnen soll, mir fehlt jedoch jede Idee wie ich das anstellen könnte.

Ich bin sehr dankbar für jede Hilfe und freue mich wenn ich das Vorgehen zur Lösung der Aufgaben verstehe.



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ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 2986
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-15


Hallo und Willkommen auf dem Matheplaneten!

Du musst einfach die Definitionen anwenden. Zu b) wie ist denn der Kern von A definiert? Wie testet man also, ob ein bestimmter Vektor Element des Kerns ist? Bei c) das gleiche: Wie ist das Bild definiert? Wenn du die konkrete Bedingung aufschreibst, bekommst du ein lineares Gleichungssystem, und ob es für ein gegebenes $\alpha$ lösbar ist, sagt dir die allgemeine Theorie zur Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme, die dir sicherlich bekannt ist.


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Matrizenrechnung' von ligning]


-----------------
⊗ ⊗ ⊗



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Holygagi
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.01.2020
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-15


2020-01-15 23:26 - ligning in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo und Willkommen auf dem Matheplaneten!

Du musst einfach die Definitionen anwenden. Zu b) wie ist denn der Kern von A definiert? Wie testet man also, ob ein bestimmter Vektor Element des Kerns ist? Bei c) das gleiche: Wie ist das Bild definiert? Wenn du die konkrete Bedingung aufschreibst, bekommst du ein lineares Gleichungssystem, und ob es für ein gegebenes $\alpha$ lösbar ist, sagt dir die allgemeine Theorie zur Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme, die dir sicherlich bekannt ist.


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Matrizenrechnung' von ligning]

Hey, erstmal danke für´s willkommen heißen und die schnelle Antwort. Laut Definition des Kerns lag ich mit meiner Vermutung ziemlich richtig. Dann kriege ich nämlich fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
rechne, woraus ich schließen kann, dass der Vektor nicht im Kern liegt.

Leider hilft mir die Definition des Bildes für Teilaufgabe (c) trotzdem nicht weiter. Möglicherweise liegt das an meinem schlechten Verständnis von Abbildungen ( fehlendes Grundwissen seit der Schulzeit ). Die allgemeine Theorie zur Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme ist mir bekannt, jedoch nützt sie mir nicht wenn ich nicht auf ein Gleichungssystem komme...
(Hier noch die Definition aus unserem Skript)
fed-Code einblenden



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X3nion
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 605
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-16


Ich bekomme für den Vektor $\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}$ raus, aber am Ergebnis ändert es nix: der gegebene Vektor liegt nicht im Kern.

Zu Teilaufgabe c) Was ist der Rang der Matrix? Kannst du damit eine Basis des Bildraums kreieren? Mit einem aus dem zu betrachtenden Punkt und der Basis bestehenden LGS kannst du schauen, ob es lösbar ist.


Viele Grüße,
X3nion



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ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 2986
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-16


Das Bild ist die Menge $\{ Ax \mid x\in\IR^3\}$, oder auch so aufgeschrieben: $\{ y \in \IR^3 \mid \exists x\in\IR^3 : Ax = y\}$. Um zu erfahren, ob der gegebene Vektor $(\alpha, 1, 1)^T$ im Bild ist, musst du also herausfinden, ob das Gleichungssystem

\[
\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 0\\1 & 0 & 1\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\alpha\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}
\]
eine Lösung hat.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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Holygagi
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.01.2020
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-16


Vielen Dank X3nion und ligning, echt große Hilfe. Werde in Zukunft versuchen die Definitionen aus dem Skript in einer für mich verständlicheren Schrift zusammenzufassen :)
gute Nacht noch.



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Creasy
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Mitteilungen: 493
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-01-16


Guten Morgen,

wie hast du denn a) gelöst und was war dein Ergebnis? Ggf. Kann man daraus nämlich ohne weitere rechnung die fragen b und c beantworten?

Beste Grüße
Creasy


-----------------
Smile (:



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