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Mathematik » Numerik & Optimierung » Gleitkomma-Arithmetik - Genauigkeit/Darstellbarkeit
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Autor
Universität/Hochschule J Gleitkomma-Arithmetik - Genauigkeit/Darstellbarkeit
ProfSnape
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-16


Hallo!

Ausgangssituation:
Zwei Zahlen sollen miteinander addiert werden (20,2 und 7.75).
Die Länge des Exponenten beträgt 6 Bits
Die Länge der Mantisse beträgt   8 Bits.

Fragen:
1.) Was ist hierbei die größte darstellbare positive Zahl?
   Ist sie einfach:
   0 111111 11111111  -> 2^14 - 1 ?
  ( kleinste pos. Zahl:
   0 000000 00000000 )

Also das vorderste Bit als VZ und restliche Stellen mit der Anzahl an 1en auffüllen, die der |Exp + Mantisse| entspricht?
   
   Analog dazu, wäre die größte negative darstellbare Zahl dann
    (falls das Beispiel mit negativen Zahlen wäre...) :

1 111111 11111111
       und die kleine negative Zahl:
1 000000 00000000

geht das so?
Was wäre in Dezimal der Wertebereich bei den negativen Zahlen?
auch, analog wie bei positiven Zahlen: [2^14 - 1 ; 0]
                                oder:  [2^14 ; -1]     ?

2.) Wie bestimmt man nun mittels der Ausgangslage in diesem Beispiel die Genauigkeit?

3.) Stichwort "Auslöschungseffekt".
Die Zahl 20.2 passt nach Normalisieren auf den 0.x-Standard (0.1010000110011... * 2^5) nicht mehr in die 8 Bits rein.
Abgeschnitten werden die niedrigstwertigsten Bits oder?
   -> Mantisse dann: 10100001   ?


Über Hilfe bin ich dankbar.^^

edit:
Kann es sein, dass der Wertebereich hier einfach [2^(-33) ; 2^31] ist.
Und die Genauigkeit ist 2^-8 - kommt das hin?

Gruß,
ProfSnape




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Kitaktus
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Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-16


Ein Wort vorweg:
Es gibt nicht _den_ einheitlichen Standard. Du musst Dir immer anschauen, welchen Standard ihr verwendet. Das macht sich z.B. darin bemerkbar, wie mit negativen Exponenten umgegangen wird, oder wie normalisiert wird.

Schau Dir das hier noch mal an.

Gleitkommazahlen verwendet man ja gerade, um auch betragsmäßige sehr große oder sehr kleine Zahlen gut darstellen zu können.
Hat der Exponent 6 Stellen, dann kann man die Exponenten von -11111 bis +11111 (abhängig vom Standard) darstellen. D.h. der Exponent kann zwischen -31 und +31 liegen.
Damit ist klar, dass Deine ersten Antworten nicht stimmen können.
Am Ende geht Deine Antwort in die richtige Richtung.
Warum die kleinste positive Zahl 2-33 sein soll, erschließt sich mir nicht.
Entweder man lässt beim minimalen Exponenten führende Nullen (nach dem Komma) zu, dann kommt man noch ein Stück weiter nach unten, oder man verbietet es, dann kommt man nicht ganz so weit.

Bei der Frage nach der Genauigkeit kommt es auf die genaue Definition von Genauigkeit an 2-8 könnte richtig sein.

Bei der Darstellung von 20.2 halte ich es für zweifelhaft, dass überzählige Bits einfach abgeschnitten werden.
Naheliegend wäre die Verwendung der nächstgelegenen Maschinenzahl und die kann dann auch größer als 20.2 sein.
Was Du mit dem Stichwort "Auslöschungseffekt" meinst, ist mir unklar. Das ist ein Begriff, den ich eher bei einer Aufgabe wie 20.3 - 20.2 erwarte.
Hier wird nichts ausgelöscht, es kann nur ein Summand nicht exakt dargestellt werden und das ist ja ganz normal.



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ProfSnape
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-18


0,x-Standard wird verwendet.

Mit Auslöschungseffekt ist gemeint, dass eben von links BBits rausfliegen, wenn sie gem. Vorgabe keinen Platz mehr haben.

Nochmal zur Darstellung bei 0.x-Standard.
Warum isst der höchste Exp dann 11111 und nicht 111111, bei Länge von 6 Stellen?

Was ist denn bei meinem Beispiel die größte und kleinse pos./neg. Zahl und warum?



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-18


Ein Beispiel für einen Standard findest Du hier.
Außer der Angabe, dann man so normiert, dass die Mantisse in einem bestimmten Intervall liegt, gehört da noch einiges mehr dazu.
Beispielsweise die Frage, wie man mit Vorzeichen im Exponenten umgeht.
Wenn man 6 Bits zur Verfügung hat, will man vermutlich _nicht_ die Exponenten 0 bis 63 damit darstellen, sondern eher -31 bis +31, -32 bis +31 oder -31 bis +32. Das wird auch im Standard festgelegt.

Das Wort "Auslöschung" wird in der numerischen Mathematik sicher nicht einheitlich verwendet. Ich würde darunter eher das hier verstehen.

PS: Ich werde nicht Deine Aufgaben für Dich lösen [schon allein wegen der vagen Randbedingungen könnte ich das auch gar nicht], ich kann Dir nur dabei helfen, das selbst zu tun.



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ProfSnape
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-22


Jo, alles klar - Links haben teils geholfen - asonsten kann ich mittlerweile die relevanten Aufgabentypen so lösen, wie bei uns in der Vorlesung besprochen bzw. so wie es bei uns für die nahende Klausur verlangt ist - das reicht mir fürs erste, auch wenn da wohl viel mehr hintersteckt, etc. etc...

Danke trotzdem.

Gruß,
ProfSnape



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