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Analysis » Stetigkeit » Ist diese Charakterisierung eine geeignete Alternative zum Epsilon-Delta-Kriterium?
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Universität/Hochschule Ist diese Charakterisierung eine geeignete Alternative zum Epsilon-Delta-Kriterium?
daenerystargaryen
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  Themenstart: 2020-01-16

Hey, ich habe in diesem Forum etwas über die Folgencharakterisierung der gleichm. Stetigkeit gelesen und frage mich, ob man die Anwendung dieser Charakterisierung als Alternative zum Epsilon-Delta-Krit. ansehen könnte. (https://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=24656&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F) "Für die gleichmäßige Stetigkeit bietet sich diese Charakterisierung an: f(xn) - f(yn) --> 0 für jedes Paar von Folgen (xn) und (yn) mit xn - yn --> 0, soweit ich sehe, ist dies der gleichmäßigen Stetigkeit äquivalent." (Der Thread ist ja schon etwas her, und ich glaube ohne, dass ich einen neuen aufmache, sehen es nicht so viele Mitglieder:/) Ich frage mich, ob man, wenn man auf das Epsilon-Delta-Kriterium verzichten möchte auch diese Untersuchung durchführen könnte: Ich stelle mir das so vor: Man nimmt ein Folgenpaar, welches gegen Null strebt ( x=1/n a=1/2n) und eines, welches gegen unendlich strebt (x=n a=1+1/n) und prüft diese auf die obige Charakterisierung. Wäre das möglich? Es wirkt auf mich, falls das geht, sehr "fehlerunanfällig". Viele Grüße:) daenerystargaryen


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qwertzusername
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-16

Hallo, erstes Problem ist, dass du mit Beispielen keine allgemeine Aussage beweisen sondern nur wiederlegen kannst. Was du mit der gegen unedlich strebenden Folge vorhast ist mir unklar. Zweites: Du tauscht eine Epsilontik gegen die nächste. Da sehen ich jetzt keinen sonderlichen gewinn


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daenerystargaryen
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-16

Hallo, vielen dank, dass du mir geantwortet hast:) Ich hatte vor, nachzuweisen, dass für $$\lim\limits_{n\to\infty}(n)-(n+(1/n))-->0$$ auch $$\lim\limits_{n\to\infty}f(n)-f(n+(1/n))-->0$$ für eine gleichmäßig stetige Funktion gilt. Aber dadurch, dass ich ja mit diesem Folgenpar nur das Verhalten gegen unenedlich untersuchen kann habe ich noch das zweite Folgenpaar eingeführt, um auch das Verhalten im Nullpunkt zu untersuchen, um jeden Bereich abgedeckt zu haben. Ich habe das Folgenkriterium bisher nur für bestimmte Intervalle benutzt und frage mich, ob es irgendweine Möglichkeit gibt, es zu verallagemeinern. Viele Grüße


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qwertzusername
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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-16

Das was du nachweisen willst gilt sogar für stetige Funktionen, also insbesondere für gleichmäßig stetige. Ich bin etwas verwirrt, was du hier wirklich vorhast. Was du mit den zweiten Folgepaar vorhast und warum erschließt sich mir nicht. Müsstest du "um jeden Bereich abzudecken" nicht auch noch feste Grenzwerte betrachten? Und ich wüßte nicht wozu man jeden Bereich abdecken müsste.


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daenerystargaryen
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-16

Danke nochmal für deine Antwort:) Ich bin nun etwas verwirrt, wann ich das Folgenkriterium nun anwenden darf und wann nicht. Ich gehe jetzt mal davon aus, dass man gleim. Stetigkeit auf KEINEN Fall so nachweisen sollte, wie ich es versucht habe. Aber wann wäre das Folgenkriterium denn dann geeignet? Wenn ich nur eines der Folgenpaare auswählen würde, dann hätte ich entweder nur gleim. Stetigkeit im Nullpunkt, oder im Unenndlichen untersucht (Das meinte ich auch mit "jeden bereich abdecken"). Darf ich dann das Folgenkriterium nur für beschränkte Intervalle benutzen? Und wie genau kann ich damit gleim. Stetigkeit im Allgemeinen nachweisen (das wollte ich gerade versuchen)? Tut mir leid, dass ich dich jetzt mit meinen Rückfragen so strapaziere....


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Wally
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  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo, zum Nachweis der gleichmäßigen Stetigkeit ist diese Kriterium in der Tat nicht so gut geeignet. Aber zum Widerlegen ist es manschmal besser als die Epsilon-Delta--Methode. Zum Beispiel wird mit \(x_n=n\) und \(y_n=n+\frac{1}{n}\) sofort klar, dass \(f(x)=x^2\) nicht glm stetig ist. Wally\(\endgroup\)


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daenerystargaryen
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-16

Hallo Wally, danke:)Jetzt wo du es sagst fällt mir auf, das ich dieses Kriterium tatsächlich nur benutzt habe, um gleichm. Stetigkeit zu widerlegen. Gibt es denn keine Möglichkeit, das Kriterium irgendwie "anzupassen"? LG


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Wally
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  Beitrag No.7, eingetragen 2020-01-16

Hallo, ich glaube nicht. Da man für eine positive Aussage alle Folgen betrachten muss, läuft das direkt auf die Epsilon-Delta-Version hinaus, wie in Beitrag 1 schon gesagt. Wally


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daenerystargaryen
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-16

Ok, vielen Dank für deine Überlegungen:)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
qzwru
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  Beitrag No.9, eingetragen 2020-01-16

Hallo daenerystargaryen, also mal unabhängig davon, wie sinnvoll das Vorgehen ist: Sei $f:[0, \infty) \to \mathbb R$ eine Funktion*. Wenn (1) $f$ stetig auf $[0, \infty)$ ist und gilt (2) $|f(x_n) - f(y_n)| \to 0$ für alle(!) Folgen $(x_n)_n$, $(y_n)_n$ in $[0, \infty)$ mit $x_n \to \infty$, $y_n \to \infty$ und $|x_n - y_n| \to 0$ dann ist $f$ gleichmäßig stetig auf $[0, \infty)$. Denn angenommen $f$ ist stetig aber nicht glm. stetig so gibt es ein $\varepsilon>0$ und $(x_n)_n, (y_n)_n$ mit $|x_n - y_n| \to 0$ sodass $\limsup_{n\to \infty} |f(x_n) - f(y_n)| \geq \varepsilon$. Da stetige Funktionen auf kompakten Mengen gleichmäßig stetig sind, können die Folgen nicht beschränkt sein, nachdem wir geeignete Teilfolgen auswählen sehen wir also, dass (2) nicht gilt. Wenn es dir allgemein darum geht, "nachrechenbare" Kriterien für glm. Stetigkeit zu haben: - Ein hinreichendes (aber nicht notwendiges) Kriterium damit eine stetige Funktion $f:[0, \infty) \to \mathbb R$ auch glm. stetig ist, ist die Existenz des Grenzwertes $\lim_{x\to \infty} f(x)$ (daraus folgt offenbar (2)) - Für differenzierbare Funktionen $f:[0, \infty) \to \mathbb R$ kann man Lipschitzstetigkeit (die glm. Stetigkeit impliziert) einfach durch zeigen der Beschränkheit der Ableitung $f'$ nachweisen. *(Beachte, dass das Obige bei einem anderen Definitionsbereich so nicht mehr gilt. Für Funktionen $(0, \infty) \to \IR$ muss man z.B. zusätzlich zwei Folgen zulassen, die gegen 0 konvergieren.)


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