Die Mathe-Redaktion - 18.02.2020 22:53 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 500 Gäste und 21 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Gockel Dune
Mathematik » Topologie » Produkt zweier Topologie erzeugt durch Mengen der Form { U \times V : U \in \tau_1, V \in \tau_2 }
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Produkt zweier Topologie erzeugt durch Mengen der Form { U \times V : U \in \tau_1, V \in \tau_2 }
LisaB
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.01.2018
Mitteilungen: 43
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-16


Hallo zusammen,

Wir haben die Produkttopologie wie folgt definiert:
Die Produkttopologie \( \tau_1 \times \tau_2 \) ist die kleinste Topologie auf \( X \times Y \),
sodass die Projektionsabbildungen \( p_1(x,y) = x \) und \( p_2(x,y) = y \) stetig sind.

Meine Frage ist nun, dass ich versuche zu zeigen, dass \( \tau_1 \times \tau_2 \) durch \( \{ U \times V : U \in \tau_1, V \in \tau_2  \} \) erzeugt wird.

Ich sehe sofort, dass dies äquivalent dazu ist, dass \( \tau_1 \times \tau_2 \) durch \( \mathcal{W} := \{ U \times Y : U \in \tau_2 \} \cup \{ X \times V : V \in \tau_2 \} \) erzeugt wird.
Außerdem sind die Projektionen stetig, denn \( p_1^{-1}(U) = U \times Y \in \tau_1 \times \tau_2 \) und \( p_2^{-1}(V) = X \times V \in \tau_1 \times \tau_2 \).
Es folgt weiter, dass \( \mathcal{W} = p_1^{-1}(\tau_1) \cup p_2^{-1}(\tau_2) \).
Ist mein Ansatz soweit in Ordnung ?

Vielen Dank!



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
qzwru
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.09.2013
Mitteilungen: 306
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-16


Hallo LisaB,

sei $\mathcal T$ die von $\{ U \times V :\, U \in \tau_1, V \in \tau_2  \}$ erzeugte Topologie.

2020-01-16 19:29 - LisaB im Themenstart schreibt:
Außerdem sind die Projektionen stetig, denn \( p_1^{-1}(U) = U \times Y \in \tau_1 \times \tau_2 \) und \( p_2^{-1}(V) = X \times V \in \tau_1 \times \tau_2 \).

Du meinst sicher, dass $p_1^{-1}(U) = U \times Y \in \mathcal T$, $p_2^{-1}(V) = X \times V \in \mathcal T$  die Projektionen also stetig bzgl. $\mathcal T$ sind. Daraus folgt $\tau_1 \times \tau_2 \subseteq \mathcal T$.

Für $\mathcal T \subseteq \tau_1 \times \tau_2$ reicht es, dass $U\times V = p_1^{-1}(U) \cap p_2^{-1}(V) \in \tau_1 \times \tau_2$ für alle $U \in \tau_1$, $V\in \tau_2$ (denn $\mathcal T$ ist per Definition die kleinste Topologie, die all diese Mengen enthält). Auf die Definition von $\mathcal W$ würde ich verzichten.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
LisaB hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]