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Analysis » Folgen und Reihen » Beweis von Reihen
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Universität/Hochschule Beweis von Reihen
EuskiPeuski712
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-17


Hallo liebe Mathegemeinde,

ich habe für die Übung folgende Aufgabe:

Sei a_k aus den komplexen Zahlen ohne {0} und a_k soll gegen den Grenzwert a konvergieren (a darf dabei nicht 0 sein). Zu beweisen ist:



Als Tipp wurde uns das Majorantenkriterium angegeben.
Leider fehlt mir auch hier wieder der Ansatz. Ich habe mit Dreiecksungleichung und Teleskopsummen gearbeitet, komme aber auf keine adäquate Lösung, geschweige denn auf eine "größere" Folge, sodass das Majorantenkriterium angewendet werden kann.

Vielen Dank schonmal im Voraus :)



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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-17


Hallo EuskiPeuski712,

für $k \in \mathbb N$ seien $x_k := |a_{k+1} - a_k|$ und $y_k :=\left| \frac{1}{a_{k+1}} - \frac{1}{a_k}  \right|$. Jetzt überlege dir, dass $C_1, C_2 > 0$ existieren mit $C_1 x_k \leq y_k \leq C_2 x_k$ für alle $k \in \mathbb N$. Tipp: Bilde für $k$ mit $x_k \neq 0$ den Quotienten $y_k/x_k$.



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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-17


Bzw. den Quotienten brauchst du eigentlich nicht zu bilden, forme $y_k$ mal um indem du die Brüche auf den gemeinsamen Nenner bringst.



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EuskiPeuski712
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-17


Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort.

Ich habe mal deinen Tipp durchgerechnet und habe nun:
1/(a_k+a_(k+1))

Leider weiß ich nicht so recht, was ich damit jetzt erreicht habe :/


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-17


Es ist

$y_k = \left|\frac{a_k - a_{k+1}}{a_k a_{k+1}}\right| = \frac{1}{|a_k a_{k+1}|} x_k$.

D.h. du musst dir nur noch überlegen, dass die Folge $(\frac{1}{|a_k a_{k+1}|})_k$ nach unten und nach oben beschränkt ist. Aber das ist der Fall, weil... (Irgendwo müssen die anderen Voraussetzungen ja noch eingehen  ;-)).



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EuskiPeuski712
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-17


Okay, den Hauptnenner habe ich gebildet. Da hätte ich ja im Zähler quasi die "umgekehrte Form" der ersten Voraussetzung, was ja aber aufgrund der Beträge auch auf die Reihenfolge der ersten Form gebracht werden kann oder ?
(Verstehst du was ich meine ? ^^)

Sodass ich dann quasi diese Form hätte:

fed-Code einblenden

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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EuskiPeuski712
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-17


Okay, ja macht Sinn.
Die ähnliche Idee hatte ich jetzt auch.
(Mein obiger Beitrag ist jetzt auch nicht ganz richtig. In meinem Kopf macht es aber Sinn ^^)
Dann probiere ich mal mit dem Ansatz weiter. Ich danke dir vielmals :)



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-01-18


Wichtig in diesem Zusammenhang ist noch die Tatsache, dass viele kleine Sätzchen über die Konvergenz von Folgen mit einhergehen.
Insbesondere, weil wir uns hier im Körper der komplexen Zahlen aufhalten, sind einige Sachverhalte vielleicht nicht so ganz trivial und müssten daher sorgfältig begründet werden.

Zum Beispiel: Konvergiert eine komplexe Folge $(a_{k})_{k \in \mathbb{N}}$, so konvergiert auch die reelle Betragsfolge $(|a_{k}|)_{k \in \mathbb{N}}$.
Dieses Sätzchen wäre zudem noch eine gute Übungsaufgabe 😉
Und damit sollte die von qzwru in Beitrag No. 4 erwähnte Beschränktheit sofort klar sein.


Viele Grüße,
X3nion



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