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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Galoiserweiterung und Automorphismus
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Autor
Universität/Hochschule Galoiserweiterung und Automorphismus
Gemini
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2020
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-18


Guten Tag,

ich hänge hierbei ziemlich und brauche Hilfe: Es ist eine Galoiserweiterung \(\IC \supset L/\IQ\) gegeben und \(\sigma : \IC \to \IC,\ z\mapsto \bar z\). Zeigen Sie:

i) \(\sigma (L) = L\) und somit \(\sigma \in \mathrm{Gal}(L/\IQ )\)
ii) \(L^\sigma = L\cap \IR\) (Was soll denn \(L^\sigma\) sein???)
iii) \([L:\IQ ]\) ungerade \(\Rightarrow L\subset \IR\)


i): Also für \(L\subset \IR\) wäre der Fall klar. Aber...


Wie gesagt, ich hänge echt und würde mich freuen, wenn ihr mir Denkanstöße geben könntet.



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4319
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-18


i) Erinnere dich daran, wie normale Erweiterungen definiert sind.
ii) Es gilt $L^{\sigma} := \{a \in L : \sigma(a)=a\}$ (diese Definition hattet ihr, ansonsten wäre euch diese Aufgabe nicht gegeben). Die behauptete Gleichung ist dann direkt klar.
iii) Überlege dir, welche Ordnung das Element $\sigma|_L : L \to L$ von $\mathrm{Gal}(L/\IQ)$ hat.



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Gemini
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2020
Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-18


Danke dir für die nützlichen Tipps.

i) Eine normale Körpererweiterung \(L/K\) ist algebraisch und jedes irreduzible \(P\in K[X]\) mit Nullstelle in \(L\) zerfällt in \(L[X]\) vollständig in Linearfaktoren.
Aber \(L\) könnte ja z.B. \(\IR\) sein und dort ist z.B. \(\pi\) nichtalgebraisch über \(\IQ\). Oder meinst du etwas anderes?

ii) Achso... dann ist das natürlich kein Problem. Wir hatten das tatsächtlich, aber nicht so. Bei uns war der "Exponent" eine Gruppe. Ist dann \(L^\sigma\) einfach eine faule Abkürzung für \(L^G\) mit \(G=\{\mathrm{id}, \sigma\}\)?

iii) Meinst du \(\sigma|_\IQ : L \to L\)? Ich hätte jetzt gesagt, dass \(\mathrm{ord}\ \sigma =2\) ist, weil die komplexe Konjugation selbstinvers ist?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
juergenX
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.07.2019
Mitteilungen: 177
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-19


2020-01-18 17:48 - Gemini in Beitrag No. 2 schreibt:


ii) Ist dann \(L^\sigma\) einfach eine faule Abkürzung für \(L^G\) mit \(G=\{\mathrm{id}, \sigma\}\)?

\(L^\sigma\)  ist wie es oben steht die Menge aller $ a\in L$ die durch die Abbildung $\sigma: L\mapsto L$ unveraendert bleibt, und auch ein Koerper. Wenn $\sigma: z\mapsto \bar z$ ist, muss $\sigma(z) = \tau(z)$ die komplexe Konjugation $\mathbb  C \mapsto \mathbb C$ vom Grad 2 sein, oder sie enthalten.
wenn $L \subseteq R$, ist $\sigma$ an sich nur die identitaet auf $L$.



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