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Universität/Hochschule J Konvergenzradius bestimmen
maxmustermann9991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
Ich soll den Konvergenzradius von \(e^{-2x}\) bestimmen.

Dafür habe ich ja allgemein zwei Optionen:

$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\biggl|\frac{a_n}{a_{n+1}}\biggr|$$ $$\text{oder}$$ $$r=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}}$$
Ich habe mich entschlossen, dies mit dem Quotienten auszurechnen:

$$r=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^{-2x}}{e^{-2(x+1)}}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^{2(x+1)}}{e^{2x}}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^{2x}\cdot e}{e^{2x}}=\lim\limits_{x\to\infty}e=e$$
Somit habe ich einen Konvergenzradius von \(r=e\).
Die Lösung sagt mir allerdings, dass der Konvergenzradius \(\infty\) sein muss.
Wo liegt hierbei nun mein Fehler?

Dann habe ich natürlich auch das Ganze mit dem Wurzelkriterium versucht:

$$r=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{e^{-2x}}}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}e^{\frac{-2x}{n}}}=\lim\limits_{n\to\infty}e^{\frac{2x}{n}}=1$$
Ich blicke da aber noch nicht ganz so durch. Ich hoffe um Hilfestellung.




\(\endgroup\)


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-18


Die Formel von Konvergenzradien gilt nur für Potenzreihen der Form $\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$

Könntest du einmal die komplette Aufgabe aufschreiben?
Was denkst du, könnte ein Ansatz sein, um diese Aufgabe zu lösen? 😄

Tipp: Schaue doch mal im Skript nach der Taylor-Reihenentwicklung der Exponentialfunktion, die da lautet: $exp(x) = e^{x} = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$


Viele Grüße,
X3nion



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maxmustermann9991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
2020-01-18 17:10 - X3nion in Beitrag No. 1 schreibt:
Die Formel von Konvergenzradien gilt nur für Potenzreihen der Form $\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$

Daran ist es schon gescheitert, habe ich total außer Acht gelassen!

Dann komme ich auf eine Summenformel von:
$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{n!}\cdot x^n\cdot(-1)^n=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-2)^n}{n!}x^n$$
Dann passt das alles wieder, vielen Dank! 😄
\(\endgroup\)


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