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Analysis » Funktionen » Funktionsgleichung logistischer Zerfall
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Universität/Hochschule Funktionsgleichung logistischer Zerfall
Snopy_Log
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-18


Hallo zusammen,

für eine Studienarbeit benötige ich eine (parametrisierbare) Funktionsgleichung. Die Eigenschaften der Funktionsgleichung ähneln der logistischen Funktion bzw. dem logistischen Wachstum (beschränkt, symmetrisch um Wendepunkt). In meinem Fall wird jedoch ein Zerfallsprozess betrachtet:


Gibt es eine derartige Funktionsgleichung bzw. wie muss ich Vorgehen, um eine zu formulieren? Die gesuchte Funktionsgleichung müsste als Parameter einen Grenzwert, eine Zerfallsrate und ggf. einen Streckfaktor in x-Richtung haben.

Vielen Dank!
Snopy



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo und willkommen im Forum!

Logistische Wachstumsprozesse lassen sich ja durch Funktionen des Typs

\[f(t)=\frac{aS}{a+(S-a)e^{-Skt}}\]
beschreiben (mit a: Anfangswert, S: Sättigungsgrenze und k: Wachstumsfaktor).

Für negative k ergibt sich dabei eine Kurve mit dem gewünschten Verlauf. S ist dann eben die Asymptote für \(t\to-\infty\).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Snopy_Log
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Mitteilungen: 4
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-18


Hallo Diophant,

Danke für die schnelle Antwort! Die Funktionsgleichung habe ich ebenfalls gefunden. Allerdings entspricht der Anfangswert a doch der Sättigungsgrenze S und sich der Nenner entsprechend auflöst... - oder nicht?

Besten Gruß
Henrik



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Diophant
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Mitteilungen: 2819
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2020-01-18 21:54 - Snopy_Log in Beitrag No. 2 schreibt:
Allerdings entspricht der Anfangswert a doch der Sättigungsgrenze S und sich der Nenner entsprechend auflöst... - oder nicht?

Nein. \(a\) ist stets der Funktionswert \(f(0)\) und \(S\) die obere von zwei waagerechten Asymptoten.

Plotte eine solche Funktion etwa mit folgenden Werten: \(a=2.5,\ S=3, k=-0.6\).

Mit dem Parameter \(k\) kannst du - wie beim Wachstum auch - den Graphen in waagerechter Richtung strecken bzw. stauchen. Auch das kannst du ja einmal mit einem Funktionen-Plotter deiner Wahl ausprobieren (ideal für so etwas ist GeoGebra).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Snopy_Log
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-18


Ok! Habe mir eine Excel erstellt und spiele damit etwas rum :)

Vielleicht eine etwas blöde Frage:

Kann die logistische Funktion f(x) dann auch verwendet werden, wenn der Wertebereich der abhängigen Variable x nur positiv bzw. größer Null ist?

Falls ja, wie lässt sich a bestimmen?
Falls dies nicht geht, verstehe ich die Bedingung a = f(0).

Danke und Gruß!
Snopy



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2020-01-18 22:47 - Snopy_Log in Beitrag No. 4 schreibt:
Ok! Habe mir eine Excel erstellt und spiele damit etwas rum :)

Wie gesagt: falls du es nicht kennst, probiere doch mal GeoGebra aus (das kostet ja nix).

2020-01-18 22:47 - Snopy_Log in Beitrag No. 4 schreibt:
Kann die logistische Funktion f(x) dann auch verwendet werden, wenn der Wertebereich der abhängigen Variable x nur positiv bzw. größer Null ist?

Nun, im Wachstumsfall geht man ja stets von \(t\ge 0\) aus. Der Grundgedanke ist hier ja der, dass der Wert des betrachteten Bestands von Beginn an größer als Null ist (für \(f(0)=0\) würde die zugehörige DGL als einzige Lösung die Nullfunktion liefern). Man betrachtet ja nie den gesamten Funktionsgraphen, wenn man den Wachstumsprozess meint (das ist aber bei anderen Wachtumsmodellen auch nicht anders). Inbesondere muss auch im Fall \(k<0\) stets \(0<a<S\) gelten, damit die oben verwendete Funktionsgleichung einen Graphen mit der gewünschten Gestalt liefert.

Von daher verstehe ich deine Frage nicht so ganz. Möchtest du, dass dein Graph an der Stelle \(t=0\) beim Maximum startet (eventuell sogar mit waagerechter Tangente)? Und wie sieht es auf der anderen Seite aus, geht es da auch nur bis zu einem endlichen Wert und soll dort der Wert Null ggf. auch mit Steigung \(m=0\) erreicht werden?

Dann wäre doch eine auf einem abgeschlosssenen Intervall definierte ganzrationale Funktion eventuell besser geeignet?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Snopy_Log
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-20


Genau, es geht darum das die Funktion an der Stelle t=0 beim maximum startet und gegen unendlich den Wert Null erreichen. Ich bin kein Mathematik-Experte und daher davon ausgegangen, dass die logistische Funktion verwendet werden kann.

Ich werde es also wohl doch mit einer ganzrationalen Funktion versuchen, danke!

Snopy



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-01-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2020-01-20 13:19 - Snopy_Log in Beitrag No. 6 schreibt:
Genau, es geht darum das die Funktion an der Stelle t=0 beim maximum startet und gegen unendlich den Wert Null erreichen. Ich bin kein Mathematik-Experte und daher davon ausgegangen, dass die logistische Funktion verwendet werden kann.

Ich werde es also wohl doch mit einer ganzrationalen Funktion versuchen, danke!

Das wird mit einer ganzrationalen Funktion auch nichts werden. Denn eine waagerechte Asymptote für x bzw. t gegen \(\infty\), das bekommst du mit einer ganzrationalen Funktion nicht hin.

Wenn du magst könntest du ja etwas mehr über den Vorgang sagen, der hier modelliert werden soll. Dann kann man sicherlich auch weitere und geeignetere Vorschläge machen.

Alternativ wählst du bei der "umgekehrten" logistischen Funktion den Startwert sehr nah an der oberen Asymptote.
 

Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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