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Mathematik » Strukturen und Algebra » Beweis Unlösbarkeit elementarer Gleichungen in elementaren Zahlen IV
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Universität/Hochschule Beweis Unlösbarkeit elementarer Gleichungen in elementaren Zahlen IV
IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-19


Hallo,

1.) sind meine Vermutung und mein Beweisentwurf vollständig, korrekt und gut formuliert? Wie kann man sie noch verbessern?

2.) Ist der Satz trivial? Ich denke, für Nicht-Mathematiker ist er nicht trivial.

Ich bin kein Student und kein Mathematiker.

Nachträglich eingefügt für die, die diesen Thread später lesen: Meine Vermutung ist vermutlich falsch, jedenfalls konnte ich sie hier nicht beweisen.

Die Elementaren Funktionen sind eine echte Teilmenge der Liouvilleschen Funktionen.

$\mathbb{E}$ seien die Elementaren Zahlen: ,   , [Chow 1999].
$\mathbb{L}$ seien die Liouvilleschen Zahlen: , [Chow 1999].


Satz (Vermutung):
Seien
$f$ eine Liouvillesche Funktion,
$P(x,y)\in\overline{\mathbb{Q}}[x,y]\setminus(\overline{\mathbb{Q}}[x]\cup\overline{\mathbb{Q}}[y])$ irreduzibel über $\overline{\mathbb{Q}}$,
$Q(x,y)\in\overline{\mathbb{Q}}[x,y]$ ungleich $0$ und irreduzibel über $\overline{\mathbb{Q}}$,
$P(x,y)$ und $Q(x,y)$ teilerfremd über $\overline{\mathbb{Q}}$,
$R(x,y)=\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}$,
$r(x)\in\overline{\mathbb{Q}}(x)$ nicht konstant.
Angenommen, die Vermutung von Schanuel ist wahr.
Wenn ein $\tilde{P}(x,y)\in\overline{\mathbb{Q}}[x,y]$ mit $R(x,y)=\tilde{P}(r(x),y)$ existiert und $R(f(z_0),e^{r(f(z_0))})=0$, dann gilt für jedes $z_0\in\mathbb{C}$ mit $r(f(z_0))\neq 0$, dass $z_0\notin\mathbb{L}$ und $z_0\notin\mathbb{E}$.

Beweisentwurf:
Um uns kürzer ausdrücken zu können, legen wir fest, dass bei allen Aussagen zur Irreduzibilitat im Rahmen dieses Beweises Irreduzibilitat über $\overline{\mathbb{Q}}$ gemeint ist.
Wir wollen unseren Satz mithilfe von Lins Satz (siehe unten) beweisen. Lins Satz trifft Aussagen zu Gleichungen der Form $\tilde{P}(\alpha,e^\alpha)=0$, in denen $\alpha\in\mathbb{C}$ und $\tilde{P}(x,y)$ irreduzibel ist.
Unser Satz behandelt solche Gleichungen der Form $R(f(z_0),e^{r(f(z_0))})=0$, zu denen eine aquivalente Gleichung der Form $\tilde{P}(r(f(z_0)),e^{r(f(z_0))})=0$ existiert. Es ist $\forall z_0\in\mathbb{C}\colon r(f(z_0))\in\mathbb{C}$. Setzen wir in der letzten Gleichung $r(f(z_0))=\alpha$, dann erinnert die Form der entstandenen Gleichung an die in Lins Satz. Wir müssen aber noch zeigen, dass $\tilde{P}$ irreduzibel ist.
Nach den Voraussetzungen unseres Satzes ist $R(x,y)=\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}=\tilde{P}(r(x),y)$. Wenn $\tilde{P}(x,y)$ reduzibel wäre, wären $P(x,y)$ und/oder $Q(x,y)$ reduzibel. Weil $P(x,y)$ und $Q(x,y)$ nach Voraussetzung aber irreduzibel sind, ist $\tilde{P}(x,y)$ irreduzibel.
Damit sind die Voraussetzungen des Satzes von Lin erfüllt, und wir können ihn auf unsere Gleichung anwenden. Nach dem Satz von Lin ist $\alpha\notin\mathbb{L}$. Da $\alpha=r(f(z_0))$, ist $r(f(z_0))\notin\mathbb{L}$.
Weil $r$ und $f$ Liouvillesche Funktionen sind, gilt $r(f(z))\in\mathbb{L}$ für alle $z\colon z\in dom(r\circ f)\ \land\ z\in\mathbb{L}$. Weil aber wie gerade festgestellt $r(f(z_0))\notin\mathbb{L}$, ist $z_0\notin\mathbb{L}$.
Mit $\mathbb{E}\subset\mathbb{L}$ haben wir $z_0\notin\mathbb{L}\supset\mathbb{E}$, woraus sich $z_0\notin\mathbb{E}$ ergibt.
q.e.d.


Satz [Lin 1983]:
Wenn die Vermutung von Schanuel wahr ist und $\tilde{P}(X,Y)\in\overline{\mathbb{Q}}[X,Y]$ ein irreduzibles, die Unbestimmten $X$ und $Y$ enthaltendes Polynom ist und $\tilde{P}\left(\alpha,e^{\alpha}\right)=0$ für $\alpha\in\mathbb{C}$ ungleich $0$, dann ist $\alpha$ nicht in $\mathbb{L}$.


[Chow 1999] Chow, T.: What is a closed-form number. Am. Math. Monthly 106 (1999) (5) 440-448

[Lin 1983] Ferng-Ching Lin: Schanuel's Conjecture Implies Ritt's Conjectures. Chin. J. Math. 11 (1983) (1) 41-50

Vielen, vielen Dank.



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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-19


Hallo IVmath,

2020-01-19 15:10 - IVmath im Themenstart schreibt:

Wenn ein $\tilde{P}(x,y)\in\overline{\mathbb{Q}}(x,y)$ mit $R(x,y)=\tilde{P}(r(x),y)$ existiert

Hier meinst du vermutlich $\tilde{P}(x,y) \in \overline{\mathbb{Q}}[x,y]$? Also ein Polynom, keine rationale Funktion.


Wenn $\tilde{P}(x,y)$ reduzibel ware, waren $P(x,y)$ und/oder $Q(x,y)$ reduzibel.

Diesen Schritt verstehe ich ehrlich gesagt überhaupt nicht. Wie folgt aus der Irreduzibilität von $P$ und $Q$ die von $\tilde{P}$? Ob das richtig ist, weiß ich im Moment nicht sicher, offensichtlich ist es sicher nicht (es sei denn, ich übersehe gerade irgendetwas Wesentliches).

Gruß,
David



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-19


2020-01-19 17:38 - DavidM in Beitrag No. 1 schreibt:
2020-01-19 15:10 - IVmath im Themenstart schreibt:
Wenn ein $\tilde{P}(x,y)\in\overline{\mathbb{Q}}(x,y)$ mit $R(x,y)=\tilde{P}(r(x),y)$ existiert
Hier meinst du vermutlich $\tilde{P}(x,y) \in \overline{\mathbb{Q}}[x,y]$? Also ein Polynom, keine rationale Funktion.
Oh ja, natürlich, vielen Dank. Ich hab's jetzt geändert.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-19


2020-01-19 17:38 - DavidM in Beitrag No. 1 schreibt:
2020-01-19 15:10 - IVmath im Themenstart schreibt:
Wenn $\tilde{P}(x,y)$ reduzibel ware, waren $P(x,y)$ und/oder $Q(x,y)$ reduzibel.
Diesen Schritt verstehe ich ehrlich gesagt überhaupt nicht. Wie folgt aus der Irreduzibilität von $P$ und $Q$ die von $\tilde{P}$?

Nach den Voraussetzungen des Satzes ist $R(x,y)=\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}=\tilde{P}(r(x),y)$. Wenn $\tilde{P}(x,y)$ reduzibel wäre, dann wäre $\tilde{P}(x,y)=\tilde{P_1}(x,y)\cdot\tilde{P_2}(x,y)$, mit $\tilde{P}_1(x,y),\tilde{P}_2(x,y)\in\overline{\mathbb{Q}}[x,y]$ und nicht konstant. Da wie oben gerade geschrieben $\tilde{P}(r(x),y)=\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}$, wäre dann $\tilde{P}(r(x),y)=\frac{P_1(x,y)}{Q_1(x,y)}\cdot\frac{P_2(x,y)}{Q_2(x,y)}$, $\tilde{P}(r(x),y)=\frac{P_1(x,y)}{Q_1(x,y)}\cdot P_2(x,y)$ oder $\tilde{P}(r(x),y)=\frac{P_1(x,y)}{Q_1(x,y)}\cdot\frac{1}{Q_2(x,y)}$, mit $P_1(x,y),P_2(x,y),Q_1(x,y),Q_2(x,y)\in\overline{\mathbb{Q}}[x,y]$ und nicht konstant, $P(x,y)$ und/oder $Q(x,y)$ also reduzibel. Weil $P(x,y)$ und $Q(x,y)$ nach Voraussetzung aber irreduzibel sind, ist $\tilde{P}(x,y)$ irreduzibel.

Habe ich dabei etwas nicht bedacht?



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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-19


Hallo IVMath,

zunächst einmal hast du nicht definiert, was $P_1, P_2, Q_1, Q_2$ sein sollen. Ich vermute mal, du willst diese so wählen, dass jeweils $\frac{P_i(x,y)}{Q_i(x,y)}=\tilde{P}_i(r(x),y)$ ist und $P_i$ und $Q_i$ teilerfremd sind.

Dann bekommst du $\frac{P_1 P_2}{Q_1 Q_2}=\frac{P}{Q}$ und willst daraus offenbar als nächstes folgern, dass $P_1 P_2=P$ und $Q_1 Q_2=Q$ ist. Das stimmt aber nur, wenn $P_1 P_2$ und $Q_1 Q_2$ teilerfremd zueinander sind. Es könnte aber sein, dass zum Beispiel $P_1$ und $Q_2$ einen gemeinsamen Teiler haben.

Außerdem könnte es sein, dass $P_1=Q_2=1$. Das wäre kein Widerspruch zur Irrduzibilität von $P$ und $Q$ aber weder $\tilde{P}_1$ noch $\tilde{P}_2$ wäre konstant.

Gruß,
David



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-19


Ich hätte noch einmal mit anführen können, dass nach Voraussetzung des Satzes $P(x,y)$ und $Q(x,y)$ teilerfremd über $\overline{\mathbb{Q}}$ sind.

Ich versuche es nochmal:

Nach den Voraussetzungen des Satzes ist $R(x,y)=\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}=\tilde{P}(r(x),y)$. Wenn $\tilde{P}(x,y)$ reduzibel wäre, dann wäre $\tilde{P}(x,y)=\tilde{P_1}(x,y)\cdot\tilde{P_2}(x,y)$, mit $\tilde{P}_1(x,y),\tilde{P}_2(x,y)\in\overline{\mathbb{Q}}[x,y]$ und nicht konstant. Da wie oben gerade geschrieben $\tilde{P}(r(x),y)=\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}$, und $P(x,y)$ und $Q(x,y)$ teilerfremd über $\overline{\mathbb{Q}}$ sind, wäre dann $P(x,y)=P_1(x,y)\cdot P_2(x,y)$ und/oder $Q(x,y)=Q_1(x,y)\cdot Q_2(x,y)$, mit $P_1(x,y),P_2(x,y),Q_1(x,y),Q_2(x,y)\in\overline{\mathbb{Q}}[x,y]$ und nicht konstant. Dann wären $P(x,y)$ und/oder $Q(x,y)$ also reduzibel. Weil $P(x,y)$ und $Q(x,y)$ nach Voraussetzung aber irreduzibel sind, ist $\tilde{P}(x,y)$ irreduzibel.

Habe ich jetzt alles berücksichtigt?



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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-01-19


Hallo IVMath,

dass $P$ und $Q$ teilerfremd sind, war mir durchaus bewusst und behebt auch keines der beiden Probleme, die ich in meinem letzten Beitrag erwähnt habe. Außerdem erklärst du immer noch nicht, wie $P_1, P_2, Q_1, Q_2$ genau definiert sind. Deine Folgerung, dass alle vier nicht konstant sein müssen, ist absolut nicht klar.

Wir haben hier auch definitiv noch eine inhaltliche Lücke im Beweis, nicht nur ein Formulierungsproblem. Das sehe ich folgendermaßen: Du hast im Beweis der Irrduzibilität von $\tilde{P}$ deine Voraussetzung, dass $P \notin \overline{\mathbb{Q}}[y]$ ist, nirgends benutzt. Ohne die Voraussetzung gibt es aber Gegenbeispiele: Wähle etwa $P(x,y)=y+1$ und $Q(x,y)=x$. Dann sind alle Voraussetzungen an $P$ und $Q$ außer der oben genannten erfüllt. Wir wählen jetzt $r(x)=\frac{1}{x}$. Dann können wir $\tilde{P}(x,y)=xy+x$ wählen und erhalten $\tilde{P}(\frac{1}{x},y)=\frac{1}{x}y+\frac{1}{x}=\frac{y+1}{x}=\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}$. Aber $\tilde{P}$ ist nicht irreduzibel.

Gruß,
David



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-19


2020-01-19 20:16 - DavidM in Beitrag No. 6 schreibt:
Außerdem erklärst du immer noch nicht, wie $P_1, P_2, Q_1, Q_2$ genau definiert sind. Deine Folgerung, dass alle vier nicht konstant sein müssen, ist absolut nicht klar.

Stimmt denn meine Aussage "Wenn $\tilde{P}(x,y)$ reduzibel wäre, dann wäre $\tilde{P}(x,y)=\tilde{P_1}(x,y)\cdot\tilde{P_2}(x,y)$, mit $\tilde{P}_1(x,y),\tilde{P}_2(x,y)\in\overline{\mathbb{Q}}[x,y]$ und nicht konstant."?
Jedes reduzible Polynom lässt sich doch als Produkt zweier nicht konstanter Polynome schreiben, oder?

Wenn $\frac{P}{Q}$ irreduzibel ist, müssen dann nicht $P$ oder $Q$ irreduzibel sein?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-01-19


2020-01-19 21:21 - IVmath in Beitrag No. 7 schreibt:
2020-01-19 20:16 - DavidM in Beitrag No. 6 schreibt:
Außerdem erklärst du immer noch nicht, wie $P_1, P_2, Q_1, Q_2$ genau definiert sind. Deine Folgerung, dass alle vier nicht konstant sein müssen, ist absolut nicht klar.

Stimmt denn meine Aussage "Wenn $\tilde{P}(x,y)$ reduzibel wäre, dann wäre $\tilde{P}(x,y)=\tilde{P_1}(x,y)\cdot\tilde{P_2}(x,y)$, mit $\tilde{P}_1(x,y),\tilde{P}_2(x,y)\in\overline{\mathbb{Q}}[x,y]$ und nicht konstant."?
Jedes reduzible Polynom lässt sich doch als Produkt zweier nicht konstanter Polynome schreiben, oder?

Der Teil ist richtig.


Wenn $\frac{P}{Q}$ irreduzibel ist, müssen dann nicht $P$ oder $Q$ irreduzibel sein?

Wahrscheinlich meinst du eigentlich "Wenn $\frac{P}{Q}$ reduzibel ist, müssen dann nicht $P$ oder $Q$ reduzibel sein?" ? Aber unabhängig davon: $\frac{P}{Q}$ ist kein Polynom (jedenfalls, wenn $P$ und $Q$ teilerfremd sind und $Q$ nicht konstant ist) und für rationale Funktionen ist Irreduzibilität nicht definiert. Du hast ja auch nicht gezeigt, dass $\frac{P}{Q}$ irreduzibel ist, sondern, dass sich $\frac{P}{Q}$ als $\tilde{P}(r(x),y)$ mit einem irreduziblen $\tilde{P}$ schreiben lässt.



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Ich versuche es noch einmal:

Nach den Voraussetzungen des Satzes ist $R(x,y)=\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}=\tilde{P}(r(x),y)$. Wenn $\tilde{P}(x,y)$ reduzibel wäre, dann wäre $\tilde{P}(x,y)=\tilde{P_1}(x,y)\cdot\tilde{P_2}(x,y)$, und deshalb $\tilde{P}(r(x),y)=\tilde{P_1}(r(x),y)\cdot\tilde{P_2}(r(x),y)$, mit $\tilde{P}_1(x,y),\tilde{P}_2(x,y)\in\overline{\mathbb{Q}}[x,y]$ und nicht konstant.
Weiter wäre dann $\tilde{P}(r(x),y)=\frac{P_1(x,y)}{Q_1(x,y)}\cdot\frac{P_2(x,y)}{Q_2(x,y)}$, mit $P_1(x,y),P_2(x,y),Q_1(x,y),Q_2(x,y)\in\overline{\mathbb{Q}}[x,y]$ und $\frac{P_1(x,y)}{Q_1(x,y)},\frac{P_2(x,y)}{Q_2(x,y)}$ nicht konstant.
Da wie oben gerade geschrieben $\tilde{P}(r(x),y)=\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}$ ist und den Voraussetzungen nach $P$ und $Q$ teilerfremd über $\overline{\mathbb{Q}}$ sind, wäre $P(x,y)=P_1(x,y)\cdot P_2(x,y)$ und $Q(x,y)=Q_1(x,y)\cdot Q_2(x,y)$.
Auch wenn ich jetzt die Voraussetzung des Satzes, dass $P(x,y)$ $x$ und $y$ enthalten muss, hinzunehme, kann $\tilde{P}(r(x),y)=\frac{P_1(x,y)}{b}\cdot\frac{a}{Q_2(x,y)}$ sein, mit $a,b\in\mathbb{Q}$.
Nach diesem bisherigen Kenntnisstand können also $P$ und/oder $Q$ durchaus irreduzibel sein wenn $\tilde{P}$ reduzibel ist.

Im Moment komme ich da nicht weiter. Ich melde mich wieder.



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