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Gewöhnliche DGL » DGLen 1. Ordnung » DGL mit Variation der Konstanten
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Autor
Universität/Hochschule DGL mit Variation der Konstanten
maxmustermann9991
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 246
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
Gegeben ist:

$$y'+2y=x^2$$
Berechnet werden soll nun die allgemeine Lösung dieser DGL.

Mein Vorgehen:

homogene Lösung bestimmen:

$$y'+2y=0$$ $$y'=-2y$$ $$\int\frac{1}{y}dy=\int-2 dx$$ $$y_h=C\cdot e^{-2x}$$
So, nun will ich mit Variation der Konstanten die spezielle Lösung bestimmen:

$$y_{sp}=C(x)\cdot e^{-2x}$$ $$y'_{sp}=C'(x)\cdot e^{-2x}-2C(x)\cdot e^{-2x}$$
Das Ganze in die DGL oben eingesetzt:

$$C'(x)\cdot e^{-2x}-2C(x)\cdot e^{-2x}+2C(x)\cdot e^{-2x}=x^2$$ $$C'(x)=x^2\cdot e^{2x}$$
Dies integriere ich nun:

$$C(x)=\int \bigl(x^2\cdot e^{2x}\bigr) dx=\frac{1}{4}\cdot(2x^2-2x+1)\cdot e^{2x}+C_1$$
So, nun müsste ich doch dieses \(C(x)\) eigentlich in mein \(y_{sp}\) einfügen, sodass ich dann mein \(y_{allg}\) erhalte, oder nicht?
Anleitung für die Variation der Konstanten laut dieser Seite

$$y_{allg}=\biggl(\frac{1}{4}\cdot(2x^2-2x+1)\cdot e^{2x}+C_1\biggr)\cdot e^{2x}$$
Ausmultipliziert:

$$y_{allg}=\frac{1}{4}\cdot(2x^2-2x+1)\cdot e^{4x}+C_1\cdot e^{2x}$$


Das Problem an der Sache ist, dass die Lösung hätte sein müssen wie folgt:
$$y_{allg}=C\cdot e^{-2x}+\frac{1}{4}\cdot\biggl(2x^2-2x+1\biggr)$$
Bei dieser Lösung \(y_{sp}\) wurde \(y_{allg}=y_{sp}+y_h\) gerechnet. Sprich:

$$y_{sp}=C\cdot e^{-2x}=\frac{1}{4}\cdot(2x^2-2x+1)\cdot e^{2x}$$ Bei dieser Lösung wurde die Konstante auf der rechten Seite weggelassen?!
$$y_h=C\cdot e^{-2x}$$ $$y_{allg}=C\cdot e^{-2x}+\frac{1}{4}\cdot(2x^2-2x+1)\cdot e^{2x}$$


Wieso war mein Vorgehen falsch bzw. hat zur falschen Lösung geführt, obwohl mich dies eigentlich immer auf die richtige Lösung bisher gebracht hat?!



Edit:

Entschuldigung, es hat sich alles jetzt geklärt, ich habe übersehen, dass mein \(y_{sp}=C\cdot e^{-2x}\) heißt und nicht \(e^{2x}\)... Anfängerfehler.
Hat sich also erledigt.  😁
\(\endgroup\)


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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3228
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

auf die Schnelle: beim Bilden der allgemeinen Lösung durch Einsetzen der variierten Konstante ist dir das Minsuzeichen im Exponenten der e-Funktion verlorengegangen. Das müsste also

\[y_{allg}=\biggl(\frac{1}{4}\cdot(2x^2-2x+1)\cdot e^{2x}+C_1\biggr)\cdot e^{-2x}=\frac{1}{4}\left(2x^2-2x+1\right)+C_1e^{-2x}\]
heißen.

Genau wie es sein soll also.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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weird
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Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 5240
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}} \newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
2020-01-20 11:39 - maxmustermann9991 im Themenstart schreibt:
Entschuldigung, es hat sich alles jetzt geklärt, ich habe übersehen, dass mein \(y_{sp}=C\cdot e^{-2x}\) heißt und nicht \(e^{2x}\)... Anfängerfehler.
Hat sich also erledigt.  😁

Mal von diesem Rechenfehler abgesehen hast du von allen Möglichkeiten, diese Dgl zu lösen immer die schlechteste genommen.  😮

Was die homogene Dgl betrifft, solltest du hier immer den Ansatz
\[y_h=Ce^{\lambda x}\] wählen, wobei $\lambda$ bekanntlich die Gleichung $\lambda+2=0$ (gebildet aus den konstanten Koeffizienten der Dgl) erfüllen muss. Was ferner die partikuläre Lösung $y_p$ betrifft, ist natürlich auch der Ansatz mit
\[y_p(x)=ax^2+bx+c\] bei weitem vorzuziehen, es sei denn, du brauchst noch etwas Übung, was die Methode der Variation der Konstanten betrifft, wobei das hier ja auch tatsächlich plausibel ist.   😉

\(\endgroup\)


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maxmustermann9991 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
maxmustermann9991 hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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