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Mathematik » Numerik & Optimierung » Optimierungsproblem mit mehreren Nebenbedingungen
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Universität/Hochschule Optimierungsproblem mit mehreren Nebenbedingungen
Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-21


Hallo,
ich verzweifle seit Stunden an einem sehr merkwürdigen Optimierungsproblem:


Die Aufgabe ist eigentlich nicht aus einer Mathe Vorlesung, allerdings ist sie ja rein "mathematisch". Das Skript ist etwas schwach, weswegen es im Skript keine vergleichbare Rechnung gibt (also darf alles verwendet werden, was existiert  biggrin ). Ich hab als einzigen Ansatz bis her die nachfolgenden Nebenbedingungen. Jeder andere Ansatz hat irgendwie ins Leere geführt. Mit t1 bezeichne den Zeitraum in die Frequenz f1 aktiv ist, mit t2 den, in die Frequenz f2 aktiv ist.

$$E=t_1P_1+t_2P_2=t_1cf_1^3+t_2cf_2^3$$ $$t_1+t_2 \le d$$ $$t_1f_1+t_2f_2=z$$ $$t_1 \ge 0$$ $$t_2 \ge 0 $$
Hoffe jemand kann mir helfen.

Danke im Voraus und Grüße,
h


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$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{Js}$



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-21


Die erste Zeile ist die Zielfunktion, die zu minimieren ist.
Die zweite Zeile ist eine Nebenbedingung, wobei hier auch eine Ungleichung sinnvoll wäre.

Die Zeilen drei und vier erscheinen mir nicht sinnvoll. [Inzwischen korrigiert.]

Es fehlt noch eine Nebenbedingung, die sicherstellt, dass man bis zur Deadline fertig wird, also etwa $t_1+t_2\leq d$.
Außerdem sollte man noch $t_1,t_2\geq 0$ fordern. [Inzwischen ergänzt.]

Rein formal ist das ein lineares Optimierungsproblem, weil alle Nebenbedingungen und die Zielfunktion linear in den Variablen $t_1$ und $t_2$ sind.
Lineare Optimierungsprobleme sind schon sehr gutmütig, hier ist es sogar noch leichter.
Man prüft, ob die Zyklenzahl mit der Frequenz $f_1$ bis zur Deadline $d$ geschafft werden kann. Wenn ja, ist das schon optimal.
Dann prüft man, ob die Zyklenzahl mit der Frequenz $f_2$ bis zur Deadline $d$ geschafft werden kann. Wenn nein, dann gibt es keine Lösung.
Reicht $f_2$ alleine aus, aber $f_1$ nicht, dann muss man $t_1$ und $t_2$ so bestimmen, dass man genau bis zur Deadline fertig wird. Das ist dann nur ein Gleichungssystem mit zwei Variablen.



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-21


Hallo,
vielen Dank für die Rückmeldung, das erklärt sehr viel.
Die zweite Zeile als Ungleichung auffassen, soll man in der nächsten Teilaufgabe. Aber oh stimmt, die Nebenbedingung mit der Deadline hab ich vergessen. Hab die Sachen mal im Startpost korrigiert.

Das ergibt natürlich Sinn, danke. Dann hab ich also $t_1+t_2=d$ (für den Fall, dass $f_2$ ausreicht, aber $f_1$ nicht) als das LGS. Kann ich jetzt also wie bei
ganz "gewöhnlichen" Optimierungsproblemen vorgehen und das ganze in die Zielfunktion einsetzen?


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$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{Js}$



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-21


Du kannst das natürlich in die Zielfunktion einsetzen, aber es ist auch so klar, dass die Kosten kleiner werden, wenn man $t_2$ möglichst klein macht und dafür $t_1$ vergrößert. Das geht so lange, bis man die verfügbare Zeit komplett ausnutzt.



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-21


Ach so, das wäre natürlich geschickter. Aber für t1 und t2 haben wir doch als einzige untere Schranke 0 gegeben, oder sehe ich das falsch?


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-21


Das sind die beiden expliziten Schranken für $t_1$ und $t_2$. Es gibt aber i.d.R. noch eine implizite Schranke für $t_2$. Macht man $t_2$ kleiner, so wird $t_1$ größer, wächst dabei aber schneller als $t_2$ fällt (weil $f_1$ kleiner ist als $f_2$). Die Summe von $t_1$ und $t_2$ nimmt also zu, so dass man i.d.R. $t_2$ irgenwann nicht weiter senken kann, ohne die deadline zu reißen.

Man kann das Problem übrigens auch graphisch gut veranschaulichen, in dem man in einem zweidimensionalen Koordinatensystem mit den Achsen $t_1$ und $t_2$ die Nebenbedingungen als Geraden / Halbebenen einzeichnet.
Die Zielfunktion ist dann ebenfalls eine Gerade, die durch den zulässigen Bereich gehen muss, aber so weit wie möglich nach unten verschoben werden soll.



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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-01-21


2020-01-21 13:22 - Kitaktus in Beitrag No. 1 schreibt:
Die erste Zeile ist die Zielfunktion, die zu minimieren ist.
Die zweite Zeile ist eine Nebenbedingung, wobei hier auch eine Ungleichung sinnvoll wäre.
Die Zeilen drei und vier erscheinen mir nicht sinnvoll.

2020-01-21 14:45 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 2 schreibt:
Aber oh stimmt, die Nebenbedingung mit der Deadline hab ich vergessen. Hab die Sachen mal im Startpost korrigiert.

@Kitaktus:
Es kommt leider immer wieder vor, dass Fragesteller den Startpost abqändern, und zwar so abqändern, dass der ursprüngliche Post nicht wieder herzustellen ist. Das hat dann wiederum zur Folge, dass Antworten auf diesen Post (wie zum Beispiel die deinige hier), überhaupt keinen Sinn mehr erkennen lassen. Die meiner Meinung nach *einzige* Art das zu verhindern ist, den relevanten Teil des kommentierten Posts zu zitieren (auch wenn das dem Fragesteller vielleicht peinlich ist), damit nachträgliche Leser nicht ganz durchqeinqander geraten. frown


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/Kyristo meu kimgei kom nhi cumgen ta Gendmogen.



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-21


2020-01-21 17:19 - Goswin in Beitrag No. 6 schreibt:
@Kitaktus:
Es kommt leider immer wieder vor, dass Fragesteller den Startpost abqändern, und zwar so abqändern, dass der ursprüngliche Post nicht wieder herzustellen ist. Das hat dann wiederum zur Folge, dass Antworten auf diesen Post (wie zum Beispiel die deinige hier), überhaupt keinen Sinn mehr erkennen lassen. Die meiner Meinung nach *einzige* Art das zu verhindern ist, den relevanten Teil des kommentierten Posts zu zitieren (auch wenn das dem Fragesteller vielleicht peinlich ist), damit nachträgliche Leser nicht ganz durchqeinqander geraten. frown
Danke für den impliziten Hinweis. Ich wurde nur mal hingewiesen, dass man den Startpost immer korrigieren solle, darum hatte ich ihn korrigiert (aber dass das verwirrend sein kann sehe ich jetzt auch, ich werde das künftig nicht mehr machen). Sorry für die Verwirrung.

2020-01-21 16:33 - Kitaktus in Beitrag No. 5 schreibt:
Das sind die beiden expliziten Schranken für $t_1$ und $t_2$. Es gibt aber i.d.R. noch eine implizite Schranke für $t_2$. Macht man $t_2$ kleiner, so wird $t_1$ größer, wächst dabei aber schneller als $t_2$ fällt (weil $f_1$ kleiner ist als $f_2$). Die Summe von $t_1$ und $t_2$ nimmt also zu, so dass man i.d.R. $t_2$ irgenwann nicht weiter senken kann, ohne die deafline zu reißen.
Alles klar, danke. Ich werde das gleich nochmal versuchen/nachrechnen und melde mich dann nochmal smile



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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-01-22


2020-01-21 18:32 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 7 schreibt:
Ich wurde nur mal hingewiesen, dass man den Startpost immer korrigieren solle, darum hatte ich ihn korrigiert (aber dass das verwirrend sein kann sehe ich jetzt auch, ich werde das künftig nicht mehr machen).

Solange niemand darauf Bezug nimmt, oder solange jemand die falsche Stelle zitiert, ist korrigieren ja völlig in Ordnung, sogar zu empfehlen. Selbst wenn jemand sich ohne Zitat darauf bezieht würde ich einen Beitrag von mir korrigieren, aber die falsche Stelle nicht weglöschen, sondern sie als falsch kennzeichnen. smile



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-22


2020-01-22 16:07 - Goswin in Beitrag No. 8 schreibt:
Solange niemand darauf Bezug nimmt, oder solange jemand die falsche Stelle zitiert, ist korrigieren ja völlig in Ordnung, sogar zu empfehlen. Selbst wenn jemand sich ohne Zitat darauf bezieht würde ich einen Beitrag von mir korrigieren, aber die falsche Stelle nicht weglöschen, sondern sie als falsch kennzeichnen. smile
Gute Idee, das wäre ein guter Kompromiss zwischen den beiden Vorgehensweisen. Beim nächsten mal werde ich darauf achten.

Ich hab mir das ganze versucht ein wenig (wie vorgeschlagen) zu veranschaulichen und ich glaube ich habe jetzt eine Idee wie man das lösen kann:
Die Energie ist ja minimal, wenn wir die Zeit $t_2$ möglichst klein kriegen, also $t_1$ möglichst groß, unter Einhaltung der Deadline:
$$t_1+t_2 \le d$$ $$f_1t_1+f_2t_2=z \Longrightarrow t_1 = \frac{z-f_2t_2}{f_1}$$ Wenn man diesen Ausdruck in die Deadline Gleichung einsetzt, ergibt sich eine untere Schranke für $t_2$:
$$\frac{z-f_2t_2}{f_1}+t_2 \le d\Longrightarrow t_2 \ge \frac{z-f_1d}{f_2-f_1}$$ Also ergibt sich für die minimale Zeit und damit optimale Umschaltzeit $$t=\frac{z-f_1d}{f_2-f_1}$$ Kann das so hinkommen?


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-01-22


Ja, das scheint die explizite Lösung zu sein.

Zu prüfen ist dann noch, ob t zwische 0 und d liegt.



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-22


Wenn ich es richtig sehe, scheint beides erfüllt zu sein.

In einem zweiten Teil der Aufgabe (ich pack das mal alles in dem Thread, da das eine zusammenhängende Aufgabe ist) hat man nun für die Zyklen statt einer Gleichung, eine weitere Ungleichung. Also folgende Nebenbedingungen:

$$E=t_1P_1+t_2P_2=t_1cf_1^3+t_2cf_2^3$$ $$t_1+t_2 \le d$$ $$t_1f_1+t_2f_2 \le z$$ $$t_1 \ge 0$$ $$t_2 \ge 0 $$ Hier hab ich allerdings gar keine Idee mehr, die zum Erfolg führen würde. Die Methode die ich zuvor benutzt habe funktioniert ja nicht mehr, da ich statt der Gleichung eine weitere Gleichung habe.


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-01-23


Wahrscheinlich isst hier ein Relationszeichen falsch, da sonst (0,0) die optimale Lösung wäre.



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-23


Vielleicht hab ich die Aufgabe missverstanden. Der Wortlaut von b) war der nachfolgende:

"Nehmen Sie nun zusätzlich an, dass die Task unter Umständen früher fertig werden kann, also mit z´ < z Zyklen. Welche der beiden Frequenzen sollte dann zuerst gewählt werden, wenn man den mittleren Energieverbrauch minimieren will?"


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-23


Ach so, ich hab gerade gemerkt, dass ich mich verlesen habe. Es geht ja um dasselbe Optimierungsproblem. Indem Fall muss man natürlich $f_2$ zuerst laufen lassen, da die Umschaltzeit mit kleinerem z, kleiner wird (und folglich auch die Zeit, die Frequenz 2 dann genutzt wird).


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-01-24


Ich verstehe die Frage so, dass man von z Zyklen ausgeht, es aber sein kann, dass man nach z'<z Zyklen schon fertig ist.
Du sparst dann i.d.R. die Kosten bei der Verwendung der zweiten Frequenz ein. Wenn Du weißt, wie groß die Kosten pro Zyklus bei den beiden Frequenzen ist, dann ist auch klar, bei welcher der beiden Frequenzen ein Wegfall von Zyklen mehr bringt. Die muss dann als zweites kommen.



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Tatsächlich? Ich dachte die erste zuerst laufen zu lassen, um sie so kurz wie möglich laufen zu haben (und bei kleineren Zyklenzahl, verschiebt sich ja wenn ich das richtige verstehe der Umschaltpunkt einfach/er wird kleiner).


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2020-01-24


Ich glaube, hier ist das genaue Verständnis der Aufgabe wichtig.

Wenn es so ist, dass ich nach irgendeiner Zyklenzahl $z'\leq$ gesagt bekomme, so jetzt bist Du fertig, dann muss ich so planen, dass ich zur Not auch die $z$ Zyklen in der Zeit schaffe. Die Zyklen, die am Ende wegfallen, sollen möglichst die teuren sein.
Aber die Aufgabe kann auch anders gemeint sein. Hast Du eine genaue Formulierung?



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Wirkungsquantum
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Hallo,
das war der genaue Wortlaut der Aufgabe (darüber ist noch Teilaufgabe a), aber das war das Optimierungsproblem im Startpost):
2020-01-23 14:48 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 13 schreibt:
"Nehmen Sie nun zusätzlich an, dass die Task unter Umständen früher fertig werden kann, also mit z´ < z Zyklen. Welche der beiden Frequenzen sollte dann zuerst gewählt werden, wenn man den mittleren Energieverbrauch minimieren will?"



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