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Integration » Riemannsche Summen » Riemannsche Summe - Treppenfunktion
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Universität/Hochschule Riemannsche Summe - Treppenfunktion
unixmelo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-21


Aufgabe:  Zu berechnen ist das Integral I = 0∫1 e^x dx

Bestimmen Sie I als  Riemannsche Summe, indem Sie über eine Treppenfunktion integrieren!
Dabei soll das Integrationsintervall [a,b] in n gleichbreite Stufen der Länge h=b-a/n=ti- ti-1, i=1,2,...,n unterteilt werden.
Die Riemannsche Summe werde mit R(n) bezeichnet.




Problem/Ansatz: Das Prinzip hinter der Riemannschen Summe verstehe ich. Allerdings haben wir bisher kein Beispiel durchgespielt, sodass mir nicht ganz klar ist wie ich die Aufgabe bearbeite.

Für jede Hilfe bin ich dankbar!



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-21


Hi unixmelo,

Nun denn: Sei $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ eine Funktion,
sei

a = $x_{0} < x_{1} < ... < x_{n} = b$

eine Unterteilung des Intervalls [a,b] und $\xi_{k}$ ein beliebiger Punkt aus dem Intervall $[x_{k-1}, x_{k}]$.

Die Riemann'sche Summe hat dann die Form

$S(Z,f) := \sum \limits_{k=1}^{n} f(\xi_{k})(x_{k} - x_{k-1})$.


Die Intervalle sollen nun die Länge $(b-a)/n$ haben.
Mit $x_{k} = a + k \cdot \frac{b-a}{n}$, ist $x_{0} = a$ und $x_{n} = b$.
Damit ist auch $x_{k} - x_{k-1} = \frac{b-a}{n}$.

Wähle nun z.B. $\xi_{k} = x_{k-1}$ aus jedem Intervall $[x_{k-1}, x_{k}]$

Damit haben wir

$S(Z,f) = \sum \limits_{k=1}^{n}e^{a + (k-1) \frac{b-a}{n}} \cdot \frac{b-a}{n} = e^{a} \sum \limits_{k=1}^{n}e^{(k-1) \frac{b-a}{n}} \cdot \frac{b-a}{n}$

Versuch es nun weiter wink

Viele Grüße,
X3nion



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unixmelo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-21


Hallo X3nion,

vielen Dank für deine Antwort. Das hilft mir aufjedenfall weiter.

Ich versuche mich nun weiter dran.
Melde mich dann eventuell später.

Vielen Dank und einen entspannten Tag!



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-21


Hi unixmelo,

melde dich jederzeit gerne - wenn ich nicht antworte, dann gibt es genug andere in der Community smile

Viele Grüße und ebenso einen entspannten Tag,
X3nion



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unixmelo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-22 16:45


Hallo nochmal :)

Ich soll die Riemannsche Summe von dem Integral I= Integral(sin(x), -pi, pi) bilden.

Ansatz: R(n)=i=1 summe über n sin(-2pi/n)*-2pi/n

Leider komme ich bei dem Grenzwert nicht weiter.
Wie wird dieser nun berechnet?



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-22 17:18


Hi unixmelo,

hast du denn die andere Aufgabe lösen können? wink

Hier dasselbe Spiel:

Wähle eine Unterteilung des Intervalles $[-\pi, \pi]$ mit

$-\pi = x_{0} < x_{1} < ... < x_{n} = \pi$,

zum Beispiel $x_{k} = -\pi + k \cdot \frac{2\pi}{n}$,

mit einem beliebigen Punkt $\xi_{k} \in [x_{k-1}, x_{k}]$, zum Beispiel $\xi_{k} = x_{k}$.

Damit ist zu berechnen $\sum \limits_{k=1}^{n} sin\left(-\pi + \frac{k \cdot 2\pi}{n}\right) \cdot \frac{2\pi}{n}$.

Kannst ja mal schreiben, wie weit du kommst, dann schauen wir, wie wir den Limes berechnen smile


Viele Grüße,
X3nion



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unixmelo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-22 17:44


Hallo :D

Die andere Aufgabe konnte ich lösen, Hurra!


fed-Code einblenden

Bei der Aufgabe bin ich grade an diesem Punkt.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-01-22 19:24


Hi unixmelo,

sehr gut! cool

Zu dieser Aufgabe: Zu berechnen ist $\sum \limits_{k=1}^{n} sin\left(-\pi + \frac{k \cdot 2\pi}{n}\right) \cdot \frac{2\pi}{n}$.

Es ist $\sum \limits_{k=1}^{n} sin\left(-\pi + \frac{k \cdot 2\pi}{n}\right) \cdot \frac{2\pi}{n} = \frac{2\pi}{n} \cdot \sum \limits_{k=1}^{n} sin\left(-\pi + \frac{k \cdot 2\pi}{n}\right)$.

Lass mal den Grenzwert noch weg.

Vielleicht hilft das Additionstheorem des Sinus hier weiter:
Es gilt
$sin(x_1 ​ +x_2​)= sin(x_1)cos(x_2) ​+ sin(x_2) ​cos(x_1)$ für alle $x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}$

Probier's mal damit.

Viele Grüße,
X3nion



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