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Integration » Lebesgue-Integral » Ausschöpfungssatz für nicht Lebesgue-integrierbare Funktionen?
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Universität/Hochschule Ausschöpfungssatz für nicht Lebesgue-integrierbare Funktionen?
fluxix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-22


Hallo!

Jetzt wird es Zeit, dass ich auch mal eine Frage in dieses Forum stelle, denn ich steh komplett auf dem Schlauch und brauche dringend einen Tipp zu folgender Aufgabe:

fed-Code einblenden

Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand helfen kann!
Viele Grüße



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doglover
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-25


Hallo fluxix,

es bezeichne $f^+$ den Positiv- und $f^-$ den Negativteil von $f$. Weiter sei $U^+:=\{x\in \mathbb{R}^n| f(x)>0\}$, $U^-:=\{x\in \mathbb{R}^n| f(x)<0\}$ und $U_0:=\{x\in \mathbb{R}^n| f(x)=0\}$. Man beachte, dass nach Definition von $f^+$ und $f^-$ gilt

$f^-(x)=0\text{ für alle }x\in U^+\cup U_0 $ und $f^+(x)=0\text{ für alle }x\in U^-\cup U_0$.

Da $f^+$ nicht integrierbar ist, ist $\int_{U^+}f^+(x)d^nx=\int_{\mathbb{R}^n}f^+(x)d^nx=+\infty$ (beachte, dass $U^+$ offen, also insbesondere messbar ist).

Definiere nun $h^+:[0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}, R\mapsto \int_{B_R(0)\cap U^+}f^+(x)d^nx$.

Es ist $f^+$ als Maximum stetiger Funktionen stetig, woraus folgt, dass $h^+$ stetig ist mit $h(0)=0$ einerseits und mit $\lim_{R\rightarrow \infty}h^+(R)=+\infty$ andererseits (nach monotoner Konvergenz).

Analog definiere man $h^-$. Nun sei ohne Einschränkung $a\geq 0$ (anderer Fall analog). Nach dem Zwischenwertsatz wähle zu festem $k\in \mathbb{N}$, $R^+_k>0$, sodass $h^+(R^+_k)=k+a$ und $R^-_k>0$ mit $h^-(R^-_k)=+k$. Definiere $A^+_k:=B_{R^+_k}(0)\cap U^+$ und $A^-_k$ analog und setze $A_k:=U_0\cup A^+_k\cup A^-_k$.

Dann ist für jedes $k$:

$\int_{A_k}f(x)d^nx=\int_{A_k}f^+d^nx-\int_{A_k}f^-(x)d^nx=\int_{A^+_k}f^+d^nx-\int_{A^-_k}f^-d^nx$
$=h^+(R^+_k)-h^-(R^-_k)=k+a-k=a$.

Überlege dir jetzt noch, dass $h^+$ und $h^-$ monoton wachsend sind und folgere $A_k\subset A_{k+1}$ für alle $k$ und dass wegen $k(+a)\rightarrow \infty$, $R^{\pm}_k\rightarrow \infty$ für $k$ gegen unendlich, also die $(A_k)_k$ tatsächlich eine Ausschöpfung bilden.

Viele Grüße

doglover



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