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Moderiert von Wally haerter
Differentialgleichungen » Partielle DGL » Lösungen des Riemann-Problems
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Universität/Hochschule Lösungen des Riemann-Problems
anna1111
Neu Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.01.2020
Mitteilungen: 2
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-24 00:47


Hallo,

ich habe eine Frage zu Lösungen eines Riemann-Problems.
Es geht um die Burger-Gleichung \(u_t+uu_x=0\) mit den Anfangsdaten \(u\left(x,0\right)=\left\{\begin{matrix} u_l \hspace{10mm} x<0 \\
 u_r \hspace{10mm} x>0 \end{matrix}
 \right.\).
Falls \(u_l>u_r\), ist ja das die physikalisch korrekte Lösung:
\(u(x,t)=\left\{\begin{matrix}u_l \hspace{5mm} x<st\\ u_r \hspace{5mm} x>st \end{matrix} \right.\)
Falls aber \(u_l<u_r\), ist diese Lösung nicht die physikalisch Korrekte.
Die Lösung ist dann instabil.
Meine Frage ist: Warum ist diese Lösung dann instabil?
Ich habe Mal versucht zu zeichnen, wie die Lösungen aussehen, wenn man statt den Anfangsdaten mit Sprungstelle eine stetige Funktion nimmt, die die beiden Werte \(u_l, u_r\) verbindet.
Beim Schock ist der Unterschied nicht so groß, beim anderen Fall erhält man aber eine Verdünnungswelle.
Ist das dann auch der Grund, warum die Verdünnungswelle die physikalisch korrekte Lösung ist?

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand sagen kann, ob meine Zeichnung und meine Erklärungsversuche so stimmen.

Vielen Dank!





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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Carmageddon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.12.2009
Mitteilungen: 627
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-24 08:46


Hallo,

nur ganz kurz: Wann heißt eine Lösung bei dir denn "instabil"? Beide Funktionen (Schock und Verdünnungswelle) sind schwache Lösungen für die Burgersgleichung.

Um zu entscheiden, welche denn die "richtige" im physikalischen Sinne ist, benötigt man i.A. eine Entropy, für mehr Details sieht z.B. hier, ab 3.2.2:

www2.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2014/other/n_dgl/chap7.pdf

Grob gesagt hängt es mit dem erwarteten "Informationsfluss" zusammen, was die physikalisch korrekte Lösung ist. Der Link erklärt es mMn recht gut.

Viele Grüße


-----------------
Zitat: "Es gibt einen Beweis aus der Physik: Er ist kurz, er ist elegant... und falsch"



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