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Analysis » Funktionen » Nullstellen einer Schwingungsgleichung gesucht
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Universität/Hochschule Nullstellen einer Schwingungsgleichung gesucht
chenge
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-24


Lieber Matheplanet,

ich widme mich seit einiger Zeit der folgenden Funktion:

fed-Code einblenden

Die Funktion geht zurück auf einen Zwei-Masse-Schwinger. Ich interessiere mich für die Nullstellen

fed-Code einblenden

und bin nach längeren Überlegungen am Ende meines Lateins. Für die Parameter gilt:

fed-Code einblenden

Ich habe folgendes vergeblich probiert:

- Umformung mithilfe trigonometrischer Zusammenhänge
- Übertragung des Problems in den komplexen Zahlenbereich

Ich weiß, dass numerische und grafische Verfahren zum Ziel führen. Allerdings suche ich einen analytischen Weg.

Ich wollte euch fragen, ob ihr mir einen zielführenden Ansatz nennen könnt, dem ich nachgehen kann? Oder ist mein Problem tatsächlich "unlösbar"? Ich kann es mir kaum vorstellen, dass es das ist. So kompliziert sieht es ja auf den ersten Blick nicht aus.

Danke für eure Hilfe, viele Grüße und einen guten Start ins Wochenende
chenge



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Caban
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 793
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-24


Hallo

Ich würde den trigonometrischen Pythagoras benutzen, das müsste gehen.

Gruß Caban



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chenge
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 02.12.2008
Mitteilungen: 79
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-24


Hallo Caban,

den trigonometrischen Pythagoras

fed-Code einblenden

habe ich mir angeschaut, allerdings sehe ich nicht, wie ich über diesen Weg an die Nullstellen von f(t) komme. Hast du einen Tipp?

Durch die zwei unterschiedlichen Kreisfrequenzen misslangen bisher alle Versuche, mithilfe trigonometrischer Formeln / Zusammenhänge, nach den Faktor t in den beiden Sinus-Funktionen umzustellen.

Viele Grüße
chenge



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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2786
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-24


Hallo chenge,

der Graph dieser Funktion entspricht i.a. ja einer Schwebung. Von daher liegen die Nullstellen nicht irgendwie periodisch zueinander.

Ich halte es für schlechterdings unmöglich, das analytisch zu lösen.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionen' von Diophant]



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chenge
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 02.12.2008
Mitteilungen: 79
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-24


Hallo Diophant,

so etwas habe ich befürchtet. Eine Schwebung nennt sich das also. Das ist interessant, dass sich das nicht analytisch bearbeiten lässt. Ich hatte die Hoffnung, dass sich u. a. durch ein Verhältnis der Kreisfrequenzen zueinander etwas erreichen lässt.

Wenn ich mir den Graphen für beliebig gewählte Parameter anschaue, ist es für mich sehr gut nachvollziehbar, was dort passiert. Es wurmt mich, dass es sich nicht rechnerisch voraussagen lässt.

Ich werde die Funktion weiter studieren. Meine Hoffnung war (und ist es immer noch), dass eine mir nicht bekannte Transformation oder Substitution zum Ziel verhilft.

Viele Grüße
chenge



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Caban
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 793
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-24


Hallo

Du könntest Näherungsverfahren benutzen.

Gruß Caban



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rlk
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 10682
Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-01-24


Hallo chenge,
für $a=1$ lassen sich die Nullstellen mit den Additionsformeln bestimmen, ich bin ziemlich sicher, dass es auch für $a=-1$ funktioniert. Ob man auch für $a\neq 1$ analytische Ausdrücke für die Nullstellen finden kann, weiß ich noch nicht.

Servus,
Roland



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shadowking
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.09.2003
Mitteilungen: 3472
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-01-25


Hallo chenge,

falls das Verhältnis der Schwingungsfrequenzen $\frac{\omega_1}{\omega_2}$ ein rationales ist (und die involvierten Zähler und Nenner teilerfremd und aus Praktikabilitätsgründen nicht allzu groß sind), kann man folgendermaßen vorgehen: man finde $n,m\in\mathbb{N},\omega\in\mathbb{R}$ mit $\omega_1=n\cdot\omega$ und $\omega_2=m\cdot\omega$. Dann lässt sich $\sin(\omega_1\cdot t)=\sin(n\cdot\omega\cdot t)$ durch (iteriertes) Anwenden der Additionstheoreme bzw. Doppelwinkelformel als Polynom $\sin(\omega_1\cdot t)=P_1(\sin(\omega\cdot t),\cos(\omega\cdot t))$ ausdrücken. In gleicher Weise gilt $\sin(m\cdot\omega\cdot t)=P_2(\sin(\omega\cdot t),\cos(\omega\cdot t))$. Dadurch wird die trigonometrische Gleichung zu einer Polynomgleichung, die möglicherweise direkt, jedenfalls aber numerisch lösbar ist.

Evtl. kann es praktischer sein, die Gleichung $0=\sin(\omega_1\cdot t)+a\cdot\sin(\omega_2\cdot t)$ zuerst zu $a^2\cdot\sin^2(m\cdot\omega\cdot t)=\sin^2(n\cdot\omega\cdot t)$ umzuformen, denn $P_1^2$ und $P_2^2$ lassen sich (durch Ausnutzen der Beziehung $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)$) auf jeden Fall als Polynome mit nur einem Argument $\sin(\omega\cdot t)$ ausdrücken. Durch das anfängliche Quadrieren ergeben sich allerdings zusätzliche "Lösungen", die die Ausgangsgleichung nicht lösen (diese lösen die modifizierte Gleichung, in der $+a$ durch $-a$ ersetzt ist), so dass man alle gefundenen Lösungen überprüfen muss.

Zum Beispiel lässt sich mit dem geschilderten Verfahren die Gleichung

$\displaystyle
\:\:\sin(3\cdot t)+2\cdot\sin(4\cdot t)\,=\,0$

in die Polynomgleichung in $s\,:=\,\sin^2(t)$

$\displaystyle
\:\:256\cdot s^3-496\cdot s^2+296\cdot s-55\,=\,0$

überführen und unter Verwendung von algebraischen und Arkusfunktionen exakt lösen; eine Lösung lautet z.B.

$\begin{align*}
t\,&=\,\arcsin\left(\sqrt{\frac{31}{48}-\frac{\sqrt{73}\cdot\sin\left(\frac{1}{3}\arctan\left(\frac{379\cdot\sqrt{426}}{10\,224}\right)\right)}{24}}\right) \\
&=\,0,8545612466\ldots
\end{align*}$

Gruß shadowking


-----------------
Niemand ist hoffnungsloser versklavt als der, der fälschlich glaubt frei zu sein.
- Johann Wolfgang von Goethe




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chenge
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 02.12.2008
Mitteilungen: 79
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-26


Hallo zusammen,

@Caban: Ja, Näherungsverfahren funktionieren hier auf jeden Fall. Bisher habe ich die auch immer verwendet. Mich interessierte, ob es vielleicht doch einen analytischen Weg gibt.

@rlk: Korrekt. Sobald die Amplitude den Wert \(a=1\) annimmt, kann ich mein Problem mit den Additionstheoremen lösen

@shadowking: Der Ansatz ist sehr interessant! Laut meinem Nachschlagewerk lässt sich \( \sin nx \) wie folgt als Reihe modellieren:

\[
\cos nx + i \sin n x = (\cos x + i \sin x)^n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} i^k \cos^{n-k} x \cdot \sin^k x
\]
Um an das Polynom zu kommen, müsste man nach dem Aufstellen der Reihe nur noch den imaginären Teil extrahieren. Das ist auf jeden Fall der bisher beste Ansatz, um mein Problem zu lösen.

Ich habe zwischenzeitlich sehr viel probiert, dass Problem auf andere Weise zu knacken. Allerdings erzielte ich nur einen kleinen Teilerfolg. Mein bisher bester Ansatz war, die Schwingung als Zeiger zu modellieren. Dabei ist es mir immerhin gelungen, die Amplitude des resultierenden Zeigers, der sich aus den beiden einzelnen rotierenden Zeigern ergibt, zu berechnen

\[
n_z = 1 + a^2 - 2 \cos( \Delta \omega t )
\]
mit \( \Delta \omega = \omega_1 - \omega_2 \). Allerdings war es mir nicht möglich, den Winkel \( \sigma(t) \) des resultierenden Zeigers zu modellieren, sodass ich am Ende so etwas erhalte

\[
\mathbf{z} = n_z
\left[
\begin{matrix}
\cos \sigma(t) \\
\sin \sigma(t)
\end{matrix}
\right]
\]
Verflixte Sache! Ich bleibe weiter dran und halte euch auf dem Laufenden.

Viele Grüße
change




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chenge
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
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Mitteilungen: 79
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-26 18:00


Ich habe nochmal ein bisschen rumprobiert und gehe jetzt folgendem Ansatz nach:

\[
\sin \varphi + a \sin k \varphi = \sum_{n=0}^{\infty} \left( 1 + a k^{2n+1} \right) \frac{ \varphi^{2n+1} }{ (2n+1)! } = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ g(k,\varphi)^{2n+1} }{ (2n+1)! } = \sin g(k,\varphi)
\]
Mit \( g(k,\varphi) \) führe ich eine Funktion ein, die mir den Winkel des resultierenden Zeigers berechnet. Wenn ich jetzt die Funktion finde, die die Reihe

\[
g(k,\varphi) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{ 1 }{ 1 + a k^{2n+1}  } \right)^{2n+1}
\]
wiedergibt, dann wäre ich doch am Ziel, oder? Bevor ich diesem Ansatz weiter nachgehe, frage ich euch, ob ich die oben getroffenen Substitution in der Reihe so machen kann, oder ob etwas dagegen spricht?

Oben sind übrigens folgende Vereinfachungen getroffen:

\[

\varphi := \omega_1 t
\qquad
\omega_2 = k \omega_1

\]
Viele Grüße
chenge



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