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Logik, Mengen & Beweistechnik » Prädikatenlogik » Prädikatenlogik Welten zur Erfüllung und nicht Erfüllung finden.
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Universität/Hochschule Prädikatenlogik Welten zur Erfüllung und nicht Erfüllung finden.
rapiz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-24 22:05


Moin

habe folgende Formeln und soll zu jeder eine Welt angeben die sie erfüllt und eine die sie nicht erfüllt.

1. $\psi_{1}=\forall x\left(\exists x^{\prime}\left(R\left(x, x^{\prime}\right) \wedge \neg R\left(x^{\prime}, x\right)\right)\right)$

$W_1$
$S= K^2$
$U = \mathbb{N}$
R=(x,x')| x > x'
$\alpha(x) = 2$ , $\alpha(x')=1$
$W_1 \models \varphi_1$

$W_2$
$S= K^2$
$U = \mathbb{N}$
R=(x,x')| x = x'
$\alpha(x) = 2$ , $\alpha(x')=2$
$W_2 \not\models \varphi_1$



2. $\psi_{2}=\exists x(R(x, x)) \wedge \forall x\left(\forall x^{\prime}\left(\neg R\left(x, x^{\prime}\right) \leftrightarrow R\left(x^{\prime}, x\right)\right)\right)$


$W_1$
$S= K^2$
$U = \mathbb{N}$
R=(x,x')| x = x'
$\alpha(x) = 2$ , $\alpha(x')=2$
$W_1 \not\models \varphi_1$


Ist eine Kontradiktion.


3. $\psi_{3}=\exists x\left(\forall x^{\prime \prime}\left(R\left(x, x^{\prime \prime}\right) \vee x=x^{\prime \prime} \vee \exists x^{\prime}\left(x=x^{\prime}\right)\right)\right)$
$W_1$
$S= K^2$
$U = \{ 1 \}$
R=(x,x'')| x = x''
$\alpha(x) = 1$ , $\alpha(x')=1$
$W_1 \models \varphi_1$

Ist eine Tautologie, da man immer das gleiche Objekt nehmen kann. Und somit der letzte Term immer wahr ist.


4.$\psi_{4}=\exists x\left(\exists x^{\prime}\left(\exists x^{\prime \prime}\left(\left(x=x^{\prime}\right) \wedge \neg\left(x=x^{\prime \prime}\right) \wedge\left(R\left(x, x^{\prime}\right) \rightarrow\left(x^{\prime}=x^{\prime \prime}\right)\right)\right)\right)\right)$


So habe nun Schwierigkeiten bei 4 etwas zu finden, kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?

Weiß nicht wie ich dort mit der Implikation umgehe um da was zu finden.



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-25 01:24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2020-01-24 22:05 - rapiz im Themenstart schreibt:
3. $\psi_{3}=\exists x\left(\forall x^{\prime \prime}\left(R\left(x, x^{\prime \prime}\right) \vee x=x^{\prime \prime} \vee \exists x^{\prime}\left(x=x^{\prime}\right)\right)\right)$
$W_1$
$S= K^2$
$U = \{ 1 \}$
R=(x,x'')| x = x''
$\alpha(x) = 1$ , $\alpha(x')=1$
$W_1 \models \varphi_1$

Ist eine Tautologie, da man immer das gleiche Objekt nehmen kann. Und somit der letzte Term immer wahr ist.
Wenn man leere Diskursuniversen zulässt (was eigentlich ganz natürlich ist, aber trotzdem nur wenige tun), ist $\psi_3$ keine Tautologie.


4.$\psi_{4}=\exists x\left(\exists x^{\prime}\left(\exists x^{\prime \prime}\left(\left(x=x^{\prime}\right) \wedge \neg\left(x=x^{\prime \prime}\right) \wedge\left(R\left(x, x^{\prime}\right) \rightarrow\left(x^{\prime}=x^{\prime \prime}\right)\right)\right)\right)\right)$


So habe nun Schwierigkeiten bei 4 etwas zu finden, kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?

Weiß nicht wie ich dort mit der Implikation umgehe um da was zu finden.
Die Formel müsste erfüllbarkeitsäquivalent sein zu
    $\psi_4'=\exists x.\ \exists x''.\ \neg\left(x=x''\right) \wedge (R(x, x) \rightarrow x=x'')$.
Siehst du, wieso? Mit einem zweielementigen Universum und einer dazu passenden Relation hätte man dann jedenfalls schon einen Nachweis der Erfüllbarkeit.
Eine mögliche Welt, die die Formel nicht erfüllt, wäre noch kleiner.
\(\endgroup\)


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rapiz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-26 04:44


leere Diskursuniversen

heißt ein leeres Universum?


Das 4. ist mir noch nicht ersichtlich.

Die Negation sorgt doch nur für ungleich oder?

Nicht x ungleich nicht x'' wäre ja im prädikatenlogischen Konzept nicht so logisch.

 



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rapiz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-31 02:10


Kann man bei 4 R(x,x) = 0 setzen? Und somit ist die Implikation immer wahr?

Oder R(x,x) = x=x''?



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-31 15:43


2020-01-31 02:10 - rapiz in Beitrag No. 3 schreibt:
Kann man bei 4 R(x,x) = 0 setzen? Und somit ist die Implikation immer wahr?
Ja.

Oder R(x,x) = x=x''?
Nein.



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rapiz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-01 18:20


Also könnte ich für 4 das ganze so machen

$W_1=(\varphi,\alpha)$ zu
$G=(R^2)$\\
$\varphi= (U,R^\varphi)$
$U = \{1,2,0\}$
$R=\{(x,x) = 0, x \in U \}$
$\alpha(x) = 1$ , $\alpha(x')=1  \alpha(x'') =2$
$W_1 \models \varphi_1$

Ist wohl n Problem, wenn 0 im Universum ist, oder? Ist ja dann nicht mehr als falsch sondern als Element zu betrachten?

Oder
$R=\{(x,x) | x \neq x, x \in U \}$ was immer falsch ist?



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-02-01 19:51

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Nun, es soll $R$ eine zweistellige Relation auf $U$ sein. Also eine Teilmenge von $U^2$ oder eben eine Funktion $U^2 \to \{0,1\}$, oder wie auch immer man das kodieren möchte (bzw. soll).

Die Relation, die nirgends gilt, könnte man in dem einen Fall als $R = \emptyset$ angeben, im anderen per $R(x,y) = 0$ für alle $x,y \in U$.


Oder
$R=\{(x,x) | x \neq x, x \in U \}$ was immer falsch ist?
Dies würde funktionieren, ist aber nur eine umständliche Formulierung von "$R = \emptyset$".
\(\endgroup\)


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rapiz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-01 23:29


Also die 0 an sich zum Beispiel, sollt am besten nicht im Universum liegen, richtig? Damit es klar ist, dass damit der Wahrheitsgehalt gemeint ist? also 0,1 und nicht die Zahlen aus dem Universum 0,1


Würde dann jetzt die 0 aus meinem Universum entfernen.


Hoffe es ist verständlich wo gerade mein Problem liegt.

Gibt ja zum Einen die Relation, ob diese wahr oder falsch ist und die Zahlen.

Habe nur Folgendes zur erfüllbarkeit der Implikation

$\varphi=(\psi \rightarrow \rho)$ und es gelten nicht sowohl $W\models \psi$ als auch $W \not\models \rho$



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-02-02 00:10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2020-02-01 23:29 - rapiz in Beitrag No. 7 schreibt:
Also die 0 an sich zum Beispiel, sollt am besten nicht im Universum liegen, richtig? Damit es klar ist, dass damit der Wahrheitsgehalt gemeint ist? also 0,1 und nicht die Zahlen aus dem Universum 0,1


Würde dann jetzt die 0 aus meinem Universum entfernen.

Hoffe es ist verständlich wo gerade mein Problem liegt.

Gibt ja zum Einen die Relation, ob diese wahr oder falsch ist und die Zahlen.
Wenn du die spezielle Relation $R$ als Teilmenge von $U^2$ definierst, tritt das Problem nicht auf. Wenn als Funktion $U^2 \to \{0,1\}$, dann eigentlich auch nicht.


Habe nur Folgendes zur erfüllbarkeit der Implikation

$\varphi=(\psi \rightarrow \rho)$ und es gelten nicht sowohl $W\models \psi$ als auch $W \not\models \rho$
"sowohl $W\models \psi$ als auch $W \not\models \rho$" geht eher in Richtung Nichterfüllbarkeit von $\psi \to \rho$.
\(\endgroup\)


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