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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Wie ist M definiert?
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Universität/Hochschule Wie ist M definiert?
mathletic
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-26


Hallo,

seien $1\leq n,m\in \mathbb{N}$ und seien $\phi, \psi:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m$ lineare Abbildungen. Sei $\lambda\in \mathbb{R}$.

Zeige:

1. $M(\phi +\psi )=M(\phi )+M(\psi )$
2. $M(\lambda \phi )=\lambda M(\phi )$
 

Was genau ist $M$ ? Es ist nichts weiteres definiert in der Aufgabe. Der Titel der Aufgabe ist "Lineare Abbildungen und Matrizen", ist $M$ also eine Matrix?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-26


Ja, es ist vermutlich die bez. der kanonischen Basis. Die Notation wird euch in der Vorlesung erklärt worden sein.



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mathletic
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-26


2020-01-26 09:31 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
Ja, es ist vermutlich die bez. der kanonischen Basis. Die Notation wird euch in der Vorlesung erklärt worden sein.

Achso, ok!

Dann haben wir folgendes:

1. Für $x\in \mathbb{R}^n$ haben wir folgendes:
$$(M(\phi +\psi ))(x)=M(\phi +\psi )(x) \ \overset{\phi, \psi \text{ linear }}{ = } \ M(\phi(x) +\psi(x) ) \ \overset{M \text{ linear }}{ = } \ M(\phi(x)) +M(\psi(x) )=(M(\phi ))(x)+(M(\psi ))(x)$$
2. Für $x\in \mathbb{R}^n$ haben wir folgendes:
$$(M(\lambda \phi  ))(x)=M(\lambda \phi )(x) \ \overset{\phi\text{ linear }}{ = } \ M(\lambda \phi(x) ) \ \overset{M \text{ linear }}{ = } \ \lambda M( \phi(x) )=\lambda (M(\phi ))(x)$$

Ist das richtig?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-26


Nein. Du hast nicht die Definition der Abbildungsmatrix benutzt. Die Gleichungen sind daher auch falsch begründet und betreffen sogar Ausdrücke, die nicht wohldefiniert sind.
 
Verwende also die Definitionen, dann kommt mühelos ein richtiger Beweis heraus.



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mathletic
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-26


2020-01-26 10:18 - Triceratops in Beitrag No. 3 schreibt:
Nein. Du hast nicht die Definition der Abbildungsmatrix benutzt. Die Gleichungen sind daher auch falsch begründet und betreffen sogar Ausdrücke, die nicht wohldefiniert sind.
 
Verwende also die Definitionen, dann kommt mühelos ein richtiger Beweis heraus.

Ist $M$ ist Abbildungsmatrix der jeweiligen linearen Abbildung? Also haben wir dass $(\phi+\psi)_M(x)=M\cdot x$ und $(\lambda \phi)_M(x)=M\cdot x$ ?



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