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Schulmathematik » Funktionsuntersuchungen » Rekonstruktion (Funktion 3. Grades) - Problem bei Bedingungen
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Autor
Schule J Rekonstruktion (Funktion 3. Grades) - Problem bei Bedingungen
poeddl
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.01.2020
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-27


Hallo,
ich sitze derzeit daran jemandem eine Rekonstruktionsaufgabe zu erklären, die mich allerdings selbst verzweifeln lässt.
Mir ist das Prinzip klar und ich habe schon etliche Aufgaben gelöst.
Allerdings habe ich das Gefühl, dass in dieser Aufgabe eine Angabe fehlt.
Die Aufgabe lautet wie folgt:

„Die Anzahl der Partygäste wird durch eine ganzrationale Funktion 3. Grades beschrieben.
6 Stunden nach Partybeginn ist der letzte Gast gegangen.
Die höchste Besucherzahl während der Party lag bei 650 Besuchern.

Wie viele Besucher pro Minute wurden höchstens nach Einlass zur Party durchgelassen?“

Dann ist die unten angehängte Abbildung gegeben.
Meine Idee war es nun den Graphen (der die Besucheranzahl über die Zeit angibt) zu rekonstruieren und anschließend die maximale Steigung zu berechnen.

Mein Problem sind nun die vier benötigten Bedingungen:
1. f(0)=0
2. f‘(6)=0
3. f(6)=0
4. f‘(0)=0

Die ergeben aber, bei Lösen des LGS, keine Lösung (alles null).
Meiner Meinung nach fehlt eine Angabe, wo der Hochpunkt liegt.
Wer kann mir sagen, wo mein Denkfehler liegt bzw. wie die Bedingungen lauten müssen?

Vielen Dank für jegliche Hilfe!
Viele Grüße
Hier die Abbildung:




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gonz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 3375
Aus: Harz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-27


Hallo poeddl,
und herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!

Nach dem vorgegebenen Funktionsbild ist deine Bedingung "2. f‘(6)=0" nicht richtig. Die Steigung bei x=6 ist nicht gegeben und offenbar ungleich 0.

Damit ist das System zunächst unterbestimmt, und du behältst einen Parameter über, den du aus der Bedingung f(x)=650 beim Maximum bestimmen kannst.

Grüße
Gerhard/Gonz


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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2790
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo poeddl und willkommen hier im Forum!

Der Knackpunkt dieser Aufgabe (die man auch aus der technischen Mechanik im Zusammenhang mit Biegebalken kennt) ist der folgende: man weiß nicht, wann das Maximum erreicht wird.

Es wird auch nicht ganz klar, warum hier \(f'(0)=0\) gelten soll. Kann es sein, dass da in der Aufgabenstellung noch mehr steht, denn irgendwie muss man ja zu der Annahme kommen, dass die momentane Änderungsrate der Gäste zum Einlassbeginn bei 0 startet.

Wenn wir das aber mal als gegeben hinnehmen: dann ist deine zweite Bedingung \(f'(6)=0\) falsch (denn offensichtlich werden die Gäste am Ende der Party schnell hinauskomplimentiert ;-) ).

Arbeite zunächst mit den drei anderen Bedingungen. Und ja: das ist eine Bedingung zu wenig. Damit lässt sich jedoch eine Schar ganzrationaler Funktionen dritter Ordnung aufstellen, die einen Scharparameter enthält.

Für diese Funktion bestimmst du dann auf dem üblichen Weg das Maximum und setzt dieses gleich 650. Das ergibt dann eine Bestimmungsgleichung für den erwähnten Scharparameter. Und wenn der bestimmt ist, dann hast du deine gesuchte Funktion.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Funktionsuntersuchungen' von Diophant]
\(\endgroup\)


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poeddl
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.01.2020
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-27


Hallo und danke für eure Antworten.

Ich hab es gerade mal probiert, aber irgendwie stehe ich doch etwas auf dem Schlauch.
Meine drei Bedingungen liefern ja dann folgendes LGS:

1. d = o
2. 216a +36b+6c = 0
3. c = 0
Damit vereinfacht sich die 2. Gleichung wiederum zu 216a + 36b = 0

Nun ist mir nicht klar, wie ich die weiteren Parameter bestimmen kann.
Vermutlich irgendwie über f(x)=ax^2+bx

Ich würde mich über eine weitere Antwort sehr freuen.
Einen schönen Abend!



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2790
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

löse jetzt die Gleichung \(216a+36b=0\) bspw. nach \(b\) auf und setze dann alles in die allgemeine Funktionsgleichung ein.

Dann verfahre weiter wie besprochen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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gonz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 3375
Aus: Harz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-27


Vermutlich irgendwie über f(x)=ax^2+bx

Das passt so nicht ganz, die Funktion sollte doch dritten Grades sein da sind dir die Potenzen durcheinandergeraten


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poeddl
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.01.2020
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-27


Hallo,

hier mal meine Rechenschritte, denn irgendwo mache ich etwas falsch...

Ich löse die Gleichung nach b auf und erhalte b=-6a
Das setze ich in die allgemeine Gleichung ein (unter Berücksichtigung von c,d=0) und erhalte
f(x)=ax^3-6ax^2
Das leite ich ab und erhalte f‘(x)=3ax^2-12ax

Da würde ich jetzt normalerweise die Nullstellen ausrechnen, welche 0 und 4 sind.
Aber ich kapier einfach nicht, wie ich jetzt auf a komme (wenn ich jetzt 4 einsetze ist a ja 0) und wo ich die 650 einsetzen muss (theoretisch ja in der zweiten Ableitung).
Sorry, dass ich euch so nerve. Vielen Dank

Und danke für den Hinweis, bin tatsächlich mit den Exponenten durcheinandergekommen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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gonz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 3375
Aus: Harz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-01-27


Kein Problem.

Die 0 interessiert uns nicht,
die vier setzt du nun in f ein, es soll f(4)=650 sein.

(Null ergibt sich ja nur wenn du die 4 in die ableitung f'(x) einsetzt)

Damit hast du die fehlende bedingung


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poeddl
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.01.2020
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-27


Danke!
Dann erhalte ich für a allerdings -20,3125 und für b 121,875.
Wenn ich das jetzt plotte erhalte ich nicht annähernd den Graphen der Abbildung.

Hat das von euch evtl. jemand gerechnet und kann die Zahlenwerte prüfen?
Hab es zwei Mal gerechnet und erhalte beide Male das gleiche:

f(4)=650=a*4^3-6*a*4^2




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Caban
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 794
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-01-27 23:06


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viertel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 26943
Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-01-28 01:58


2020-01-27 22:16 - poeddl in Beitrag No. 8 schreibt:
Danke!
Dann erhalte ich für a allerdings -20,3125 und für b 121,875.
Wenn ich das jetzt plotte erhalte ich nicht annähernd den Graphen der Abbildung.
Dann plottest du falsch confused
Denn
$$f(x)=-\frac{325}{16}x^3+\frac{975}{8}x^2$$ liefert genau den gewünschten Graphen.

Meine Gleichungen, wobei $x_1$ die Stelle mit dem Maximum ist:
fed-Code einblenden
Das sind 5 Gleichungen mit 5 Unbekannten.

Gruß vom ¼


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Bild



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gonz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 3375
Aus: Harz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-01-28 06:59


Guten Morgen!

Es ist schade, dass man in der Aufgabenstellung nicht den Wert 640 für das Maximum gewählt hat ...


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poeddl
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.01.2020
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-28 19:30


Hallo,
vielen Dank euch allen für die Hilfe!
Ich habe tatsächlich nur falsch geplottet, jetzt passt alles.

Schönen Abend und nochmal herzlichen Dank



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