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Mathematik » Topologie » Wie funktioniert das genau mit der Quotientenabbildung ?
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Universität/Hochschule Wie funktioniert das genau mit der Quotientenabbildung ?
Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-27


Ich bin gerade bei dem Thema Quotiententopologie und dann auch der Quotientenabbildung. Ich versuche gerade zu verstehen, wie das genau mit dem "verkleben" von Punkten funktioniert und wie dann die entsprechenden Quotientenräume aussehen.

Ich hab hier ein Beispiel, was ich nicht ganz verstehe:

Wir haben einen Kreisring:

fed-Code einblenden

Ich verstehe jetzt nicht, wieso K/R die ganze Kreisscheibe mit Radius 1  sein soll ?

Ich meine alle Punkte aus R werden von der Quotientenabbildung wahrscheinlich auf den Mittelpunkt abgebildet und die restlichen Punkte sozusagen auf sich selbst aber die Punkte in der Umgebung vom Mittelpunkt haben doch gar kein Urbild oder verstehe ich irgendwas falsch ?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-27


Hallo Pter87,

ich denke, deine Vorstellung, was eine Quotiententopologie ist, stimmt noch nicht so ganz.

2020-01-27 20:39 - Pter87 im Themenstart schreibt:
Ich verstehe jetzt nicht, wieso K/R die ganze Kreisscheibe mit Radius 1  sein soll ?

Es ist nicht "gleich", sondern homöomorph dazu. D. h. dass man es durch verzerren ohne zu zerreißen oder zu verkleben ineinander überführen kann. (Ein Quadrat ist homöomorph zu einem Dreieck oder zu einem Kreis.)

Die Klebestellen musst du dir als Wurmloch vorstellen. Du näherst dich also auf dem Kreisring K dem Kreis R und kommst dann schwupps auf irgend einer anderen Stelle von R wieder heraus.

Das Innere des Kreisrings wird also sozusagen verklebt.




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Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-28


Achso ok, in meinem Vorlesungsskript sah es so aus, als ob das wirklich darauf abgebildet wird und nicht nur Homöomorph.

Also ich weiß, dass jede surjektive Abbildung f:X -> A (X ist topologischer Raum) eine Topologie induziert, undzwar die Quotiententopologie, die genau aus den Mengen aus A besteht, für die gilt:

fed-Code einblenden

Wählt man A = X/~ für eine beliebige Äquivalezrelation(man zerlegt X einfach in bestimmte Partitionen) , dann wird, laut meinem Buch, A ,versehen mit der Quotiententopologie, Quotientenraum von X genannt.

Das sind meine bisherigen Kenntnisse

Wie kann ich mir denn K/R vorstellen ? Das sind doch alles Äquivalenzklassen. Wenn ich mir nur die Repräsentanten anschaue, dann ist ja K/R im Grunde K ohne den inneren Rand und einem weiteren Punkt p der auf dem inneren Rand liegt. Wie genau funktioniert dann die Verformung von K/R nach S^1 ?

Dass so ein Homöomorphismus existiert liegt doch an dieser universellen Eigenschaft oder ?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-28


Hallo,


wahrscheinlich ist es sinnvoll die folgende Äquivalenzrelation zu betrachten:
\[(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\quad\Longleftrightarrow\quad x_1y_2=x_2y_1\] Jeder Punkt in $K$ hat genau einen Repräsentanten aus $R$. Es ist $K/\sim$ die Menge aller Äquivalenzklassen von $\sim$. Andererseits wird durch die Abbildung
\[f\colon K\to R, (x,y)\mapsto \left(\frac{x}{2\sqrt{x^2+y^2}}, \frac{y}{2\sqrt{x^2+y^2}}\right)\] jedem Element aus $K$ der eindeutige Repräsentant aus $R$ zugewiesen. Im Wesentlichen unterscheiden sich $K/\sim$ und $R$ also nicht, obwohl $K/\sim$ keine Teilmenge des $\mathbb{R}^2$ ist.

Hoffentlich stimmt alles, was ich bisher geschrieben habe :)



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-28


2020-01-28 15:12 - Pter87 in Beitrag No. 2 schreibt:
Wie kann ich mir denn K/R vorstellen ? Das sind doch alles Äquivalenzklassen. Wenn ich mir nur die Repräsentanten anschaue, dann ist ja K/R im Grunde K ohne den inneren Rand und einem weiteren Punkt p der auf dem inneren Rand liegt. Wie genau funktioniert dann die Verformung von K/R nach S^1 ?

Ich sehe das so:
Es ist \((x_1,y_1)\sim(x_x,y_2)\iff (x_1=x_2\wedge y_1=y_2)\vee (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in R)\).

Die Verformung von K/R nach \(S^1\) funktioniert nicht. (\(S^1\) ist der Rand des Einheitskreises.) Vielmehr ist eine Verformung von K/R nach \(B^1\) gesucht.

Du ziehst dazu R auf den Nullpunkt (0,0) zusammen.



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Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-28


Sorry, natürlich war B^1 gemeint, und nicht S^1

Könntest du den Homöomorphismus von R/K nach B^1 explizit angeben oder einen Link dazu ?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-01-28


Was hältst du davon?

\((x,y)/R\mapsto(2\sqrt{x^2+y^2}-1)(x,y)\)

(Damit werden die Punkte aus \(S^1\) auf sich selbst und die Punkte aus R auf (0,0) abgebildet.)



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Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-28


Ah ok. Ich glaube jetzt verstehe ich das schon besser. Ich hatte mich kurz gefragt, wieso ich denn nicht einfach K als Definitionsmenge nehmen könnte, mit derselben Abbildungsvorschrift aber das wäre dann ja nicht bijektiv und somit kein Homöomorphismus.

Das heißt, nicht K ist homöomorph zu B1 sondern der entsprechende Quotientenraum.

Ich fand das etwas verwirrend, da in meinem Skript bei diesem Beispiel einfach folgendes steht:

Da ist der entsprechende Kreisring aufgemalt und von dem geht ein Pfeil(soll für die Quotientenabbildung stehen) aus zu einem Bild einer Kreisscheibe. Ist das eine Art Kurzschreibweise oder so ?



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