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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Untergruppen von Kreuzprodukten finden
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Universität/Hochschule J Untergruppen von Kreuzprodukten finden
Stocksn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-28


Guten Tag,

Ich habe hier vor mir eine Aufgabe

fed-Code einblenden

Ich habe hier im Forum schon ein paar Beiträge dazu gefunden, im Allgemeinen die Untergruppen zu finden, aber bei einem Kreuzprodukt zweier Gruppen wie hier, bin ich leider nicht fündig geworden.


In vorherigen Teilaufgaben habe ich bereits alle 8 Nullstellen des entsprechenden Minimalpolynoms gefunden, gezeigt, dass

fed-Code einblenden

gilt und auch zwei Automorphismen

fed-Code einblenden

Jedenfalls war mein erster Gedanke, dass ich einfach Untergruppen jeweils von

fed-Code einblenden
finden muss und dann einfach deren Kreuzprodukt nehmen. Dann erhalte ich zwar eine Untergruppe der Galoisgruppe, aber es ist ja nicht gesagt, dass das alle Untergruppen sind, nicht wahr? Bin auf englischsprachigen Foren nämlich fündig geworden und da hieß es in verschiedenen Beiträgen, dass es eben auch Untergruppen einer "Direkten-Produkt-Gruppe" gibt, die nicht das direkte Produkt zweier Untergruppen sind.

Dementsprechend wollte ich wissen, ob es bei Gruppen, die das direkte Produkt von zwei Gruppen sind, Tricks gibt, wie man auf eben solche Untergruppen kommen kann, die nicht das Produkt zweier Untergruppen sind.

Oder muss man einfach trotzdem stumpf so vorgehen, dass man sich die Teiler der Ordnung ansieht und alle möglichen Kombinationen an Elementen durchprobiert, bis man zufällig eine Untergruppe gefunden hat?


Schon mal vielen Dank für die Hilfe,

Stocksn



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-28


Die Bestimmung der Untergruppen geht sehr systematisch, aber bevor ich das erläutere, eine Rückfrage:

Bist du mit dem Struktursatz über endliche abelsche Gruppen vertraut?

Übrigens. Das Standardbeispiel für eine Untergruppe eines direkten Produktes, die nicht von zwei Untergruppen der Faktoren herkommt, ist einfach $\{(a,a) : a \in G\} \subseteq G \times G$ für jede Gruppe $G$. Hier hat man ja ein direktes Produkt der Form $H \times G$ mit $H \subseteq G$, und entsprechend kann man auch $\{(a,a) : a \in H\}$ als Beispiel angeben.



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Stocksn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-28


2020-01-28 21:42 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
Die Bestimmung der Untergruppen geht sehr systematisch, aber bevor ich das erläutere, eine Rückfrage:

Bist du mit dem Struktursatz über endliche abelsche Gruppen vertraut?

Übrigens. Das Standardbeispiel für eine Untergruppe eines direkten Produktes, die nicht von zwei Untergruppen der Faktoren herkommt, ist einfach $\{(a,a) : a \in G\} \subseteq G \times G$ für jede Gruppe $G$. Hier hat man ja ein direktes Produkt der Form $H \times G$ mit $H \subseteq G$, und entsprechend kann man auch $\{(a,a) : a \in H\}$ als Beispiel angeben.

Ich kenne einen Struktursatz über endlich erzeugte Moduln, der ja soweit ich weiß auch auf endliche, abelsche Gruppen anwendbar ist, wenn du den meinst?

Ok, ja mit dem Beispiel sehe ich jetzt immerhin, dass es auch solche Untergruppen gibt. Dankeschön :)



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-28


Ok. Die Untergruppen von $G = C_2 \times C_4 = \langle \sigma \rangle \times \langle \tau \rangle$ haben als mögliche Ordnungen $1,2,4,8$. Es gibt jeweils nur eine Untergruppe der Ordnung $1$ bzw. $8$.

Eine Untergruppe der Ordnung $2$ ist einfach durch ein Element der Ordnung $2$ bestimmt. Die kannst du für $G$ leicht hinschreiben, denn dazu muss man nur die Elemente der Ordnungen $1,2$ in $C_2$ und $C_4$ miteinander paaren:

$(1,\tau^2),(\sigma,1),(\sigma,\tau^2)$
 
Es gibt genauso viele Untergruppen der Ordnung $2$ wie Untergruppen der Ordnung $4$. Das liegt an der Pontrjagin-Dualität: Es gibt für jede endliche abelsche Gruppe $G$ aufgrund des Struktursatzes einen Isomorphismus $G \to G^{\perp} := \hom(G,\IQ/\IZ)$, also eine perfekte Bilinearform $G \times G \to \IQ/\IZ$. Damit kann man nun (wie in der linearen Algebra) orthogonale Komplemente definieren, und dabei ist die Ordnung von $U^{\perp}$ gerade der Index von $U$.
 
Es wird also genau $3$ Untergruppen der Ordnung $4$ geben, nämlich die orthogonalen Komplemente der $3$ Untergruppen der Ordnung $2$. Diese lassen sich dann auch ausrechnen.

Alternativ kann man so vorgehen, ohne die Dualität zu verwenden:

Nach dem Struktursatz ist eine Gruppe der Ordnung $4$ entweder zu $C_4$ oder zu $C_2 \times C_2$ isomorph.
 
Die zyklischen Untergruppen vom Typ $C_4$ sind durch Elemente $a \in G$ der Ordnung $4$ ergeben, die man leicht hinschreiben kann, wobei $a$ und $a^{-1}$ dieselbe Untergruppe erzeugen. Hierüber bekommt man zwei Untergruppen.

Die Untergruppen vom Typ $C_2 \times C_2$ sind durch Elemente $a,b \in G$ der Ordnung $2$ gegeben mit $a \neq b$ gegeben (die man ja bereits vorab bestimmt hat), wobei man auch hier wieder mehrere Paare dieselbe Untergruppe erzeugen. Hierüber bekommt man genau eine Untergruppe.



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Stocksn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-29


Ok, vielen Dank, das hilft mir schon sehr weiter.

Aber habe ich das richtig verstanden, dass das Ganze grundsätzlich nur funktioniert, wenn meine Gruppen jeweils abelsch sind? Denn sonst, kann ich ja diese Zerlegung nach dem Hauptsatz gar nicht machen, bzw. ich kenne ja dann die Isomorphietypen der Untergruppen nicht genau, wenn sie nicht abelsch sind, oder?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-30


Ja.

Selbst wenn $G,H$ zwei sehr konkrete nicht-abelsche Gruppen sind, kann es mitunter sehr aufwändig werden, die Untergruppen von $G \times H$ zu finden. Es ist eigentlich nur dann eine triviale Aufgabe, wenn $G,H$ endlich und teilerfremde Ordnungen haben. Hier ist dann tatsächlich jede Untergruppe von der Form $U \times V$ mit Untergruppen $U$ von $G$ und $V$ von $H$. (Super Übungsaufgabe.)



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Stocksn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-30


Alles klar, vielen herzlichen Dank. Deine Antworten haben sehr weitergeholfen :D



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