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Mathematik » Geometrie » Ellipse näherungsweise aus Kreisbögen zeichnen
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Kein bestimmter Bereich J Ellipse näherungsweise aus Kreisbögen zeichnen
MCcheck
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-09


Es müsste doch möglich sein eine Ellipse näherungsweise mit  Kreisbögen oder Viertelkreisbögen zu zeichnen, sodass die Halbachsen a und b respektiert werden.

Wie mache ich das am besten?








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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-09


Hi MCcheck

Erst mal Willkommen auf dem Planeten

Im Prinzip ja. Du kannst 2 Kreise (schwarz) zeichnen, die tangential ineinander übergehen (blau):

Allerdings ist das nicht eindeutig.
Ich habe mit dem kleinen Kreis angefangen. Wenn ich ihn so wähle, daß seine Krümmmung der der Ellipse (rot) entspricht, dann liegt der Anschlußpunkt des großen Kreises deutlich im Innern der Ellipse. Umgekehrt ist es, wenn ich die Krümmung des großen Kreises vorgebe. Im Bild habe ich ein Mittelding gewählt.

Wie hättest du es denn gerne?
Hm, fällt mir gerade so noch auf: vermutlich gibt es nur eine Konstellation, bei der der Anschlußpunkt auf dem Ellipsenbogen liegt. Hab aber noch keine Idee, wie der zu finden ist. Habe erst mal nur experimentiert.

Gruß vom ¼


-----------------
Bild



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-02-10


Ich habe eine Konstruktion "Oval mit gegebenen Achsen" gefunden.

<math>

\usetikzlibrary{spy}

% \begin{axis}

\pgfmathsetmacro\a{4.7}
\pgfmathsetmacro\b{3.4}

\begin{tikzpicture}[font=\footnotesize,
Help/.style={help lines},
Oval/.style={},
Ellipse/.style={red, thin}, % densely dashdotted
spy using outlines={circle, magnification=5.555, size=2cm, connect spies},
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
]
\pgfkeys{/tikz/savelength/.code={
\pgfmathparse{veclen(\x1,\y1)*2.54/72.27} % pt ---> cm
\xdef#1{\pgfmathresult}
}}

\pgfmathsetmacro\d{sqrt(\a^2+\b^2)}

\coordinate [label=-45:$M$] (M) at (0,0);
\coordinate [label=left:$B$] (B) at (-\a,0);
\coordinate [label=right:$A$] (A) at (\a,0);
\coordinate [label=135:$C$] (C) at (0,\b);
\coordinate [label=-135:$D$] (D) at (0,-\b);
\coordinate [label=] (Cs) at (0,\d);
\coordinate [label=] (Ds) at (0,-\d);

\coordinate [label=0:$B_1$] (B1) at (0,\a);
\pgfmathsetmacro\CBI{abs(\a-\b)}

% Clip
\clip[] ([shift={($(B)+(-1em,0)$)}]Ds) rectangle ([shift={($(A)+(1em,0)$)}]Cs);

% Hauptachsen
\draw[name path=CsDs, Help] (Cs) -- (Ds);
\draw[name path=BA] (B) -- (A);
\draw[] (C) -- (D);

% Ellipse
\draw[Ellipse] (M) circle[x radius=\a, y radius=\b];

% Oval
\draw[name path=BC, Help] (B) -- (C);

\draw[name path=BB1, Help] (M) -- (B1);
\draw[name path=arcBB1, shift={(M)}, Help] (B)  arc[radius=\a, start angle=180, end angle=90];

\pgfmathanglebetweenpoints{\pgfpointanchor{C}{center}}{\pgfpointanchor{B}{center}}
\edef\angleCB{\pgfmathresult}
\draw[name path=arcB1B2, shift={(C)}, Help] (B1)  arc[radius=\CBI, start angle=90, end angle=\angleCB];
%\node at (3,-2) {C-B \angleCB};

\path[name intersections={of=BC and arcB1B2, name=B2}];
\coordinate[label=-45:$B_2$] (B2) at (B2-1);

\path[draw=none] (B) -- ($(B)!0.5!(B2)$) coordinate[label=-90:$B_3$](B3);

% Hilfslinie B3 - MB"
\draw[name path=B3MBs, Help] (B3) -- ($(B3)!1.5*\d cm!90:(B)$);
% .......................

% Mittelpunkte
\path[name intersections={of=B3MBs and BA, name=MB}];
\coordinate[label=45:$M_B$] (MB) at (MB-1);

\path[name intersections={of=B3MBs and CsDs, name=MC}];
\coordinate[label=0:$M_C$] (MC) at (MC-1);

\path[] (MB) -- ($(MB)!2!(M)$) coordinate[label=135:$M_A$] (MA);
\path[] (MC) -- ($(MC)!2!(M)$) coordinate[label=0:$M_D$] (MD);

% Hilfslinie MB - B3"
\draw[name path=MBB3s, Help] (MB) -- ($(MB)!\d cm!(B3)$) coordinate(B3s);
% .......................

% Radius rB
\path[] let \p1 = ($(MB)-(B)$) in [savelength={\rB}];
% Bogen links
\path[name path=kreisMB, draw=none] (MB) circle (\rB);
\path[name intersections={of=MBB3s and kreisMB, name=XB}];
\coordinate[label=$X_B$] (XB) at (XB-1);

% Anfangs- und Endpunkte der Kreisbgen
\path[draw=none] (XB) -- ($(M)!(XB)!(B)$) coordinate[] (XBFusz);
\path[draw=none] (XB) -- ($(XB)!2!(XBFusz)$) coordinate[label=below:$Y_B$] (YB);

\path[draw=none] (XB) -- ($(M)!(XB)!(C)$) coordinate[label=] (XAFusz);
\path[draw=none] (XB) -- ($(XB)!2!(XAFusz)$) coordinate[label=$X_A$] (XA);

\path[draw=none] (YB) -- ($(M)!(YB)!(D)$) coordinate[label=] (YAFusz);
\path[draw=none] (XB) -- ($(YB)!2!(YAFusz)$) coordinate[label=below:$Y_A$] (YA);

% Restliche Hilfslinien
\draw[Help] (MB) -- ($(MB)!\d cm!(YB)$);
\draw[Help] (MA) -- ($(MA)!\d cm!(XA)$);
\draw[Help] (MA) -- ($(MA)!\d cm!(YA)$);

% Kreisbgen
% Bogen XB - YB
\pgfmathanglebetweenpoints{\pgfpointanchor{MB}{center}}{\pgfpointanchor{XB}{center}}
\edef\angleI{\pgfmathresult}
\pgfmathanglebetweenpoints{\pgfpointanchor{MB}{center}}{\pgfpointanchor{YB}{center}}
\edef\angleII{\pgfmathresult}
\pgfmathsetmacro\angle{\angleII-\angleI}
%\node[align=left] at (3,-2) {angleI \angleI \\ angleII \angleII \\ angle \angle};
\draw[Oval] ([shift=(\angleI:\rB)]MB) arc (\angleI:\angleII:\rB) coordinate[pos=0.8, label=](Spy);

% Bogen XA - YA
\pgfmathanglebetweenpoints{\pgfpointanchor{MA}{center}}{\pgfpointanchor{XA}{center}}
\edef\angleI{\pgfmathresult}
\pgfmathanglebetweenpoints{\pgfpointanchor{MA}{center}}{\pgfpointanchor{YA}{center}}
\edef\angleII{\pgfmathresult-360}
\pgfmathsetmacro\angle{\angleII-\angleI}
%\node[align=left] at (3,-2) {angleI \angleI \\ angleII \angleII \\ angle \angle};
\draw[Oval] ([shift=(\angleI:\rB)]MA) arc (\angleI:\angleII:\rB);

% Radius rC
\path[] let \p1 = ($(MC)-(C)$) in [savelength={\rC}];
% Bogen XB - XA
\pgfmathanglebetweenpoints{\pgfpointanchor{MC}{center}}{\pgfpointanchor{XB}{center}}
\edef\angleI{\pgfmathresult}
\pgfmathanglebetweenpoints{\pgfpointanchor{MC}{center}}{\pgfpointanchor{XA}{center}}
\edef\angleII{\pgfmathresult}
\pgfmathsetmacro\angle{\angleII-\angleI}
%\node[align=left] at (3,-2) {angleI \angleI \\ angleII \angleII \\ angle \angle};
\draw[Oval] ([shift=(\angleI:\rC)]MC) arc (\angleI:\angleII:\rC);

% Bogen YB - YA
\pgfmathanglebetweenpoints{\pgfpointanchor{MD}{center}}{\pgfpointanchor{YB}{center}}
\edef\angleI{\pgfmathresult}
\pgfmathanglebetweenpoints{\pgfpointanchor{MD}{center}}{\pgfpointanchor{YA}{center}}
\edef\angleII{\pgfmathresult}
\pgfmathsetmacro\angle{\angleII-\angleI}
%\node[align=left] at (3,-2) {angleI \angleI \\ angleII \angleII \\ angle \angle};
\draw[Oval] ([shift=(\angleI:\rC)]MD) arc (\angleI:\angleII:\rC);

% Winkel
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\cdot$",
] {angle =B2--B3--XB};


%% Punkte
\foreach \P in {M, B,A,C,D, B1, B2, B3, MB, MC, MA, MC, MD} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

\foreach \P in {XA,YA, XB, YB} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

% Spy
\spy[Help, red] on (Spy) in node at ([shift={(-0.666*\a,-0.333*\b)}]D);
\end{tikzpicture}
</math>


Sei $a$ die Haupthalbachse und sei $b$ Nebenhalbachse.

(0) Errichte die Hauptachse $2a =: |AB|$ und die Nebenachse $2b =: |CD|$ so, dass ihre Mittelpunkte $M$ zusammenfallen und die Strecken senkrecht aufeinander stehen.

(1) Beschreibe einen Kreis um $M$ vom Radius $|MB|=a$; Schnittpunkt mit derjenigen Halbgeraden durch $|MC|$ sei $B_1$.

(2) Beschreibe einen Kreis um $C$ vom Radius $|CB_1|$; Schnittpunkt mit der Strecke $|BC|$ sei $B_2$.

(3) Errichte die Mittelsenkrechte von $|BB_2|$, Lotfußpunkt sei $B_3$. Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit $|AB|$ sei $M_B$. Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit derjenigen Halbgeraden durch $|MD|$ sei $M_C$.

(4a) Spiegele $M_B$ an $M$, Spiegelpunkt sei $M_A$.

(4b) Spiegele $M_C$ an $M$, Spiegelpunkt sei $M_D$.

(5a) Trage auf derjenigen Halbgeraden durch $|M_B B_3|$ die Strecke $|BM_B| =: r_B$ ab, Endpunkt sei $X_B$. Spiegele $X_B$ an der Hauptachse $|AB|$; Spiegelpunkt sei $Y_B$.

(5b) Spiegele $X_B$ an der Nebenachse $|CD|$, Spiegelpunkt sei $X_A$. Spiegele $Y_B$ an der Nebenachse  $|CD|$, Spiegelpunkt sei $Y_A$.

(6a) Zeichne den Kreisbogen um $M_B$ vom Radius $r_B = |BM_B|$ zwischen den Schenkeln $|M_B X_B|$ und $|M_B Y_B|$.

(6b) Zeichne den Kreisbogen um $M_A$ vom Radius $r_B$ zwischen den Schenkeln $|M_A X_A|$ und $|M_A Y_A|$.

(7a) Zeichne den Kreisbogen um $M_C$ vom Radius $|CM_C|=: r_C$ zwischen den Schenkelteilen $|M_B X_B|$ und $|M_A X_A|$.

(7b) Zeichne den Kreisbogen um $M_C$ vom Radius $r_C$ zwischen den Schenkelteilen $|M_B Y_B|$ und $|M_A Y_A|$.


Man erkennt eine gute Übereinstimmung mit der Ellipse (rot).



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viertel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27369
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-10

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Mit den Halbachsen <math>a</math> und <math>b</math> ist diese Gleichung nach <math>xe</math> aufzulösen (Newton mit Startwert <math>\frac{a}{2}</math>):
fed-Code einblenden
<math>xe</math> ist die x-Koordinate des Ellipsenpunktes <math>P</math>, an dem die beiden Kreisbögen (im ersten Quadranten) zusammentreffen.
Die Mittelpunkte der Kreisbögen sind dann leicht auszurechnen.

Beispiel:

Es ist <math>a=10</math> und <math>b=5</math>, die Näherung ergibt <math>xe \approx 8.538509376</math>
An dieser Stelle hat dann die Verbindung des grünen und des blauen Bogen keinen Knick mehr, denn dann haben die Radien <math>M_aP</math> und <math>M_bP</math> die gleiche Steigung (das ist der Trick, der hinter der Rechnung steckt) und somit auch die Tangenten in P.
\(\endgroup\)


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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-02-11


2020-02-10 14:10 - geroyx in Beitrag No. 2 schreibt:
<math>

\usetikzlibrary{spy}

% \begin{axis}

\pgfmathsetmacro\a{4.7}
\pgfmathsetmacro\b{3.4}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.75,
font=\footnotesize,
Help/.style={help lines},
Oval/.style={},
Ellipse/.style={red, thin}, % densely dashdotted
spy using outlines={circle, magnification=5.555, size=2cm, connect spies},
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
]
\pgfkeys{/tikz/savelength/.code={
\pgfmathparse{veclen(\x1,\y1)*2.54/72.27} % pt ---> cm
\xdef#1{\pgfmathresult}
}}

\pgfmathsetmacro\d{sqrt(\a^2+\b^2)}

\coordinate [label=-45:$M$] (M) at (0,0);
\coordinate [label=left:$B$] (B) at (-\a,0);
\coordinate [label=right:$A$] (A) at (\a,0);
\coordinate [label=135:$C$] (C) at (0,\b);
\coordinate [label=-135:$D$] (D) at (0,-\b);
\coordinate [label=] (Cs) at (0,\d);
\coordinate [label=] (Ds) at (0,-\d);

\coordinate [label=0:$B_1$] (B1) at (0,\a);
\pgfmathsetmacro\CBI{abs(\a-\b)}

% Clip
\clip[] ([shift={($(B)+(-1em,0)$)}]Ds) rectangle ([shift={($(A)+(1em,0)$)}]Cs);

% Hauptachsen
\draw[name path=CsDs, Help] (Cs) -- (Ds);
\draw[name path=BA] (B) -- (A);
\draw[] (C) -- (D);

% Ellipse
\draw[Ellipse] (M) circle[x radius=\a, y radius=\b];

% Oval
\draw[name path=BC, Help] (B) -- (C);

\draw[name path=BB1, Help] (M) -- (B1);
\draw[name path=arcBB1, shift={(M)}, Help] (B)  arc[radius=\a, start angle=180, end angle=90];

\pgfmathanglebetweenpoints{\pgfpointanchor{C}{center}}{\pgfpointanchor{B}{center}}
\edef\angleCB{\pgfmathresult}
\draw[name path=arcB1B2, shift={(C)}, Help] (B1)  arc[radius=\CBI, start angle=90, end angle=\angleCB];
%\node at (3,-2) {C-B \angleCB};

\path[name intersections={of=BC and arcB1B2, name=B2}];
\coordinate[label=-45:$B_2$] (B2) at (B2-1);

\path[draw=none] (B) -- ($(B)!0.5!(B2)$) coordinate[label=-90:$B_3$](B3);

% Hilfslinie B3 - MB"
\draw[name path=B3MBs, Help] (B3) -- ($(B3)!1.5*\d cm!90:(B)$);
% .......................

% Mittelpunkte
\path[name intersections={of=B3MBs and BA, name=MB}];
\coordinate[label=45:$M_B$] (MB) at (MB-1);

\path[name intersections={of=B3MBs and CsDs, name=MC}];
\coordinate[label=0:$M_C$] (MC) at (MC-1);

\path[] (MB) -- ($(MB)!2!(M)$) coordinate[label=135:$M_A$] (MA);
\path[] (MC) -- ($(MC)!2!(M)$) coordinate[label=0:$M_D$] (MD);

% Hilfslinie MB - B3"
\draw[name path=MBB3s, Help] (MB) -- ($(MB)!\d cm!(B3)$) coordinate(B3s);
% .......................

% Radius rB
\path[] let \p1 = ($(MB)-(B)$) in [savelength={\rB}];
% Bogen links
\path[name path=kreisMB, draw=none] (MB) circle (\rB);
\path[name intersections={of=MBB3s and kreisMB, name=XB}];
\coordinate[label=$X_B$] (XB) at (XB-1);

% Anfangs- und Endpunkte der Kreisbgen
\path[draw=none] (XB) -- ($(M)!(XB)!(B)$) coordinate[] (XBFusz);
\path[draw=none] (XB) -- ($(XB)!2!(XBFusz)$) coordinate[label=below:$Y_B$] (YB);

\path[draw=none] (XB) -- ($(M)!(XB)!(C)$) coordinate[label=] (XAFusz);
\path[draw=none] (XB) -- ($(XB)!2!(XAFusz)$) coordinate[label=$X_A$] (XA);

\path[draw=none] (YB) -- ($(M)!(YB)!(D)$) coordinate[label=] (YAFusz);
\path[draw=none] (XB) -- ($(YB)!2!(YAFusz)$) coordinate[label=below:$Y_A$] (YA);

% Restliche Hilfslinien
\draw[Help] (MB) -- ($(MB)!\d cm!(YB)$);
\draw[Help] (MA) -- ($(MA)!\d cm!(XA)$);
\draw[Help] (MA) -- ($(MA)!\d cm!(YA)$);

% Kreisbgen
% Bogen XB - YB
\pgfmathanglebetweenpoints{\pgfpointanchor{MB}{center}}{\pgfpointanchor{XB}{center}}
\edef\angleI{\pgfmathresult}
\pgfmathanglebetweenpoints{\pgfpointanchor{MB}{center}}{\pgfpointanchor{YB}{center}}
\edef\angleII{\pgfmathresult}
\pgfmathsetmacro\angle{\angleII-\angleI}
%\node[align=left] at (3,-2) {angleI \angleI \\ angleII \angleII \\ angle \angle};
\draw[Oval] ([shift=(\angleI:\rB)]MB) arc (\angleI:\angleII:\rB) coordinate[pos=0.8, label=](Spy);

% Bogen XA - YA
\pgfmathanglebetweenpoints{\pgfpointanchor{MA}{center}}{\pgfpointanchor{XA}{center}}
\edef\angleI{\pgfmathresult}
\pgfmathanglebetweenpoints{\pgfpointanchor{MA}{center}}{\pgfpointanchor{YA}{center}}
\edef\angleII{\pgfmathresult-360}
\pgfmathsetmacro\angle{\angleII-\angleI}
%\node[align=left] at (3,-2) {angleI \angleI \\ angleII \angleII \\ angle \angle};
\draw[Oval] ([shift=(\angleI:\rB)]MA) arc (\angleI:\angleII:\rB);

% Radius rC
\path[] let \p1 = ($(MC)-(C)$) in [savelength={\rC}];
% Bogen XB - XA
\pgfmathanglebetweenpoints{\pgfpointanchor{MC}{center}}{\pgfpointanchor{XB}{center}}
\edef\angleI{\pgfmathresult}
\pgfmathanglebetweenpoints{\pgfpointanchor{MC}{center}}{\pgfpointanchor{XA}{center}}
\edef\angleII{\pgfmathresult}
\pgfmathsetmacro\angle{\angleII-\angleI}
%\node[align=left] at (3,-2) {angleI \angleI \\ angleII \angleII \\ angle \angle};
\draw[Oval] ([shift=(\angleI:\rC)]MC) arc (\angleI:\angleII:\rC);

% Bogen YB - YA
\pgfmathanglebetweenpoints{\pgfpointanchor{MD}{center}}{\pgfpointanchor{YB}{center}}
\edef\angleI{\pgfmathresult}
\pgfmathanglebetweenpoints{\pgfpointanchor{MD}{center}}{\pgfpointanchor{YA}{center}}
\edef\angleII{\pgfmathresult}
\pgfmathsetmacro\angle{\angleII-\angleI}
%\node[align=left] at (3,-2) {angleI \angleI \\ angleII \angleII \\ angle \angle};
\draw[Oval] ([shift=(\angleI:\rC)]MD) arc (\angleI:\angleII:\rC);

% Winkel
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\cdot$",
] {angle =B2--B3--XB};


%% Punkte
\foreach \P in {M, B,A,C,D, B1, B2, B3, MB, MC, MA, MC, MD} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

\foreach \P in {XA,YA, XB, YB} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

% Spy
%\spy[Help, red] on (Spy) in node at ([shift={(-0.666*\a,-0.333*\b)}]D);
\end{tikzpicture}
</math>




2020-02-10 14:10 - geroyx in Beitrag No. 2 schreibt:

Ich habe eine Konstruktion "Oval mit gegebenen Achsen" gefunden.

<math>

\usetikzlibrary{spy}

% \begin{axis}

\pgfmathsetmacro\a{4.7}
\pgfmathsetmacro\b{3.4}

\begin{tikzpicture}[font=\footnotesize,
Help/.style={help lines},
Oval/.style={},
Ellipse/.style={red, thin}, % densely dashdotted
spy using outlines={circle, magnification=5.555, size=2cm, connect spies},
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
]
\pgfkeys{/tikz/savelength/.code={
\pgfmathparse{veclen(\x1,\y1)*2.54/72.27} % pt ---> cm
\xdef#1{\pgfmathresult}
}}

\pgfmathsetmacro\d{sqrt(\a^2+\b^2)}

\coordinate [label=-45:$M$] (M) at (0,0);
\coordinate [label=left:$B$] (B) at (-\a,0);
\coordinate [label=right:$A$] (A) at (\a,0);
\coordinate [label=135:$C$] (C) at (0,\b);
\coordinate [label=-135:$D$] (D) at (0,-\b);
\coordinate [label=] (Cs) at (0,\d);
\coordinate [label=] (Ds) at (0,-\d);

\coordinate [label=0:$B_1$] (B1) at (0,\a);
\pgfmathsetmacro\CBI{abs(\a-\b)}

% Clip
\clip[] ([shift={($(B)+(-1em,0)$)}]Ds) rectangle ([shift={($(A)+(1em,0)$)}]Cs);

% Hauptachsen
\draw[name path=CsDs, Help] (Cs) -- (Ds);
\draw[name path=BA] (B) -- (A);
\draw[] (C) -- (D);

% Ellipse
\draw[Ellipse] (M) circle[x radius=\a, y radius=\b];

% Oval
\draw[name path=BC, Help] (B) -- (C);

\draw[name path=BB1, Help] (M) -- (B1);
\draw[name path=arcBB1, shift={(M)}, Help] (B)  arc[radius=\a, start angle=180, end angle=90];

\pgfmathanglebetweenpoints{\pgfpointanchor{C}{center}}{\pgfpointanchor{B}{center}}
\edef\angleCB{\pgfmathresult}
\draw[name path=arcB1B2, shift={(C)}, Help] (B1)  arc[radius=\CBI, start angle=90, end angle=\angleCB];
%\node at (3,-2) {C-B \angleCB};

\path[name intersections={of=BC and arcB1B2, name=B2}];
\coordinate[label=-45:$B_2$] (B2) at (B2-1);

\path[draw=none] (B) -- ($(B)!0.5!(B2)$) coordinate[label=-90:$B_3$](B3);

% Hilfslinie B3 - MB"
\draw[name path=B3MBs, Help] (B3) -- ($(B3)!1.5*\d cm!90:(B)$);
% .......................

% Mittelpunkte
\path[name intersections={of=B3MBs and BA, name=MB}];
\coordinate[label=45:$M_B$] (MB) at (MB-1);

\path[name intersections={of=B3MBs and CsDs, name=MC}];
\coordinate[label=0:$M_C$] (MC) at (MC-1);

\path[] (MB) -- ($(MB)!2!(M)$) coordinate[label=135:$M_A$] (MA);
\path[] (MC) -- ($(MC)!2!(M)$) coordinate[label=0:$M_D$] (MD);

% Hilfslinie MB - B3"
\draw[name path=MBB3s, Help] (MB) -- ($(MB)!\d cm!(B3)$) coordinate(B3s);
% .......................

% Radius rB
\path[] let \p1 = ($(MB)-(B)$) in [savelength={\rB}];
% Bogen links
\path[name path=kreisMB, draw=none] (MB) circle (\rB);
\path[name intersections={of=MBB3s and kreisMB, name=XB}];
\coordinate[label=$X_B$] (XB) at (XB-1);

% Anfangs- und Endpunkte der Kreisbgen
\path[draw=none] (XB) -- ($(M)!(XB)!(B)$) coordinate[] (XBFusz);
\path[draw=none] (XB) -- ($(XB)!2!(XBFusz)$) coordinate[label=below:$Y_B$] (YB);

\path[draw=none] (XB) -- ($(M)!(XB)!(C)$) coordinate[label=] (XAFusz);
\path[draw=none] (XB) -- ($(XB)!2!(XAFusz)$) coordinate[label=$X_A$] (XA);

\path[draw=none] (YB) -- ($(M)!(YB)!(D)$) coordinate[label=] (YAFusz);
\path[draw=none] (XB) -- ($(YB)!2!(YAFusz)$) coordinate[label=below:$Y_A$] (YA);

% Restliche Hilfslinien
\draw[Help] (MB) -- ($(MB)!\d cm!(YB)$);
\draw[Help] (MA) -- ($(MA)!\d cm!(XA)$);
\draw[Help] (MA) -- ($(MA)!\d cm!(YA)$);

% Kreisbgen
% Bogen XB - YB
\pgfmathanglebetweenpoints{\pgfpointanchor{MB}{center}}{\pgfpointanchor{XB}{center}}
\edef\angleI{\pgfmathresult}
\pgfmathanglebetweenpoints{\pgfpointanchor{MB}{center}}{\pgfpointanchor{YB}{center}}
\edef\angleII{\pgfmathresult}
\pgfmathsetmacro\angle{\angleII-\angleI}
%\node[align=left] at (3,-2) {angleI \angleI \\ angleII \angleII \\ angle \angle};
\draw[Oval] ([shift=(\angleI:\rB)]MB) arc (\angleI:\angleII:\rB) coordinate[pos=0.8, label=](Spy);

% Bogen XA - YA
\pgfmathanglebetweenpoints{\pgfpointanchor{MA}{center}}{\pgfpointanchor{XA}{center}}
\edef\angleI{\pgfmathresult}
\pgfmathanglebetweenpoints{\pgfpointanchor{MA}{center}}{\pgfpointanchor{YA}{center}}
\edef\angleII{\pgfmathresult-360}
\pgfmathsetmacro\angle{\angleII-\angleI}
%\node[align=left] at (3,-2) {angleI \angleI \\ angleII \angleII \\ angle \angle};
\draw[Oval] ([shift=(\angleI:\rB)]MA) arc (\angleI:\angleII:\rB);

% Radius rC
\path[] let \p1 = ($(MC)-(C)$) in [savelength={\rC}];
% Bogen XB - XA
\pgfmathanglebetweenpoints{\pgfpointanchor{MC}{center}}{\pgfpointanchor{XB}{center}}
\edef\angleI{\pgfmathresult}
\pgfmathanglebetweenpoints{\pgfpointanchor{MC}{center}}{\pgfpointanchor{XA}{center}}
\edef\angleII{\pgfmathresult}
\pgfmathsetmacro\angle{\angleII-\angleI}
%\node[align=left] at (3,-2) {angleI \angleI \\ angleII \angleII \\ angle \angle};
\draw[Oval] ([shift=(\angleI:\rC)]MC) arc (\angleI:\angleII:\rC);

% Bogen YB - YA
\pgfmathanglebetweenpoints{\pgfpointanchor{MD}{center}}{\pgfpointanchor{YB}{center}}
\edef\angleI{\pgfmathresult}
\pgfmathanglebetweenpoints{\pgfpointanchor{MD}{center}}{\pgfpointanchor{YA}{center}}
\edef\angleII{\pgfmathresult}
\pgfmathsetmacro\angle{\angleII-\angleI}
%\node[align=left] at (3,-2) {angleI \angleI \\ angleII \angleII \\ angle \angle};
\draw[Oval] ([shift=(\angleI:\rC)]MD) arc (\angleI:\angleII:\rC);

% Winkel
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\cdot$",
] {angle =B2--B3--XB};


%% Punkte
\foreach \P in {M, B,A,C,D, B1, B2, B3, MB, MC, MA, MC, MD} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

\foreach \P in {XA,YA, XB, YB} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

% Spy
\spy[Help, red] on (Spy) in node at ([shift={(-0.666*\a,-0.333*\b)}]D);
\end{tikzpicture}
</math>


Sei $a$ die Haupthalbachse und sei $b$ Nebenhalbachse.

(0) Errichte die Hauptachse $2a =: |AB|$ und die Nebenachse $2b =: |CD|$ so, dass ihre Mittelpunkte $M$ zusammenfallen und die Strecken senkrecht aufeinander stehen.

(1) Beschreibe einen Kreis um $M$ vom Radius $|MB|=a$; Schnittpunkt mit derjenigen Halbgeraden durch $|MC|$ sei $B_1$.

(2) Beschreibe einen Kreis um $C$ vom Radius $|CB_1|$; Schnittpunkt mit der Strecke $|BC|$ sei $B_2$.

(3) Errichte die Mittelsenkrechte von $|BB_2|$, Lotfußpunkt sei $B_3$. Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit $|AB|$ sei $M_B$. Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit derjenigen Halbgeraden durch $|MD|$ sei $M_C$.

(4a) Spiegele $M_B$ an $M$, Spiegelpunkt sei $M_A$.

(4b) Spiegele $M_C$ an $M$, Spiegelpunkt sei $M_D$.

(5a) Trage auf derjenigen Halbgeraden durch $|M_B B_3|$ die Strecke $|BM_B| =: r_B$ ab, Endpunkt sei $X_B$. Spiegele $X_B$ an der Hauptachse $|AB|$; Spiegelpunkt sei $Y_B$.

(5b) Spiegele $X_B$ an der Nebenachse $|CD|$, Spiegelpunkt sei $X_A$. Spiegele $Y_B$ an der Nebenachse  $|CD|$, Spiegelpunkt sei $Y_A$.

(6a) Zeichne den Kreisbogen um $M_B$ vom Radius $r_B = |BM_B|$ zwischen den Schenkeln $|M_B X_B|$ und $|M_B Y_B|$.

(6b) Zeichne den Kreisbogen um $M_A$ vom Radius $r_B$ zwischen den Schenkeln $|M_A X_A|$ und $|M_A Y_A|$.

(7a) Zeichne den Kreisbogen um $M_C$ vom Radius $|CM_C|=: r_C$ zwischen den Schenkelteilen $|M_B X_B|$ und $|M_A X_A|$.

(7b) Zeichne den Kreisbogen um $M_C$ vom Radius $r_C$ zwischen den Schenkelteilen $|M_B Y_B|$ und $|M_A Y_A|$.


Man erkennt eine gute Übereinstimmung mit der Ellipse (rot).




Für die Zeichnung einer Näherungsellipse ohne Hilfslinien mit Zirkel, Lineal und Winkelmesser bietet es sich an ein paar Hilfsgrößen zu berechnen.

<math>
\pgfmathsetmacro\a{4.7}
\pgfmathsetmacro\b{3.4}

\begin{tikzpicture}[font=\footnotesize,
every label/.style={text=gray},
Help/.style={help lines},
Oval/.style={thick},
Ellipse/.style={red, thin}, % densely dashdotted
spy using outlines={circle, magnification=5.555, size=2cm, connect spies},
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
]
%\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\pgfkeys{/tikz/savelength/.code={
\pgfmathparse{veclen(\x1,\y1)*2.54/72.27} % pt ---> cm
\xdef#1{\pgfmathresult}
}}

\pgfmathsetmacro\s{sqrt(\a^2+\b^2)-(\a-\b)}
\pgfmathsetmacro\Alpha{atan(\b/\a)}
\pgfmathsetmacro\Chi{90-\Alpha}
\pgfmathsetmacro\rB{\s/(2*cos(\Alpha))}
\pgfmathsetmacro\MMC{(\a-\rB)*tan(\Chi)}
\pgfmathsetmacro\MMB{\a-\rB}

\pgfmathsetmacro\MBMC{(\a-\rB)/cos(\Chi)}
\pgfmathsetmacro\rC{\rB+\MBMC}
\pgfmathsetmacro\d{sqrt(\a^2+\b^2)}

\coordinate [label=-45:$M$] (M) at (0,0);
\coordinate [label=left:$B$] (B) at (-\a,0);
\coordinate [label=right:$A$] (A) at (\a,0);
\coordinate [label=135:$C$] (C) at (0,\b);
\coordinate [label=-135:$D$] (D) at (0,-\b);
\coordinate [label=] (Cs) at (0,\d);
\coordinate [label=] (Ds) at (0,-\d);


%% Clip
%\clip[] ([shift={($(B)+(-1em,0)$)}]Ds) rectangle ([shift={($(A)+(1em,0)$)}]Cs);

% Grid
\draw[Help, step=5mm, local bounding box=dreieck] ([shift={($(B)+(-6mm,0)$)}]Ds) grid ([shift={($(A)+(6mm,9mm)$)}]C);


% Hauptachsen
%\draw[name path=CsDs, Help] (Cs) -- (Ds);
%\draw[] (B) -- (A);
%\draw[] (C) -- (D);

% Radius rB und Punkt XB
\coordinate[label=45:$(M_B)$] (MB) at ([xshift=\rB cm]B);
\draw[blue] (MB) -- +(180-\Chi:\rB) coordinate[label=$(X_B)$] (XB) node[midway, right]{$r_B$};
% Winkel
\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\chi$", blue,
] {angle =XB--MB--B};

\draw[blue] (MB)  -- +(-7mm, 0);

% Spiegelpunkte
\path[draw=none] (XB) -- ($(M)!(XB)!(B)$) coordinate[] (XBFusz);
\path[draw=none] (XB) -- ($(XB)!2!(XBFusz)$) coordinate[label=below:$(Y_B)$] (YB);

\path[draw=none] (XB) -- ($(M)!(XB)!(C)$) coordinate[label=] (XAFusz);
\path[draw=none] (XB) -- ($(XB)!2!(XAFusz)$) coordinate[label=$(X_A)$] (XA);

\path[draw=none] (YB) -- ($(M)!(YB)!(D)$) coordinate[label=] (YAFusz);
\path[draw=none] (XB) -- ($(YB)!2!(YAFusz)$) coordinate[label=below:$(Y_A)$] (YA);

% Restliche Mittelpunkte
\path[] (MB) -- ($(MB)!2!(M)$) coordinate[label=135:$(M_A)$] (MA);

\coordinate[label=0:$(M_C)$] (MC) at ([yshift=-\MMC cm]M);
\draw[blue] (M)  -- (MC);
\path[] (MC) -- ($(MC)!2!(M)$) coordinate[label=0:$(M_D)$] (MD);


% Bgen
\draw[Oval] ([shift=(180-\Chi:\rB)]MB) arc (180-\Chi:180+\Chi:\rB);
\draw[Oval] ([shift=(-\Chi:\rB)]MA) arc (-\Chi:\Chi:\rB);

\draw[Oval] ([shift=(90+\Alpha:\rC)]MC) arc (90+\Alpha:90-\Alpha:\rC);
%\draw[red] (MD) -- +(-\Chi:\rC);
%\draw[red] (MD) -- +(-180+\Chi:\rC);
\draw[Oval] ([shift=(-\Chi:\rC)]MD) arc (-\Chi:-180+\Chi:\rC);

%\draw[Oval] ([shift=(\angleI:\rB)]MA) arc (\angleI:\angleII:\rB);

% Punkte
\foreach \P in {M,A,B,C,D, MB, XB,YB,XA,YA, MA, MC, MD} \draw[fill=black] (\P) circle (1.5pt) node[fill=none]{};

%% Ellipse
%\draw[Ellipse] (M) circle[x radius=\a, y radius=\b];


% Werte
\pgfkeys{/pgf/number format/.cd,fixed,precision=2}
\begin{scope}[shift={($(B)+(0,-\b cm-1.125em)$)},
]
\node[draw=black, fill=black!1, anchor=north west, xshift=0.0em, align=left, text width=1.95*\a cm] {$\begin{array}{l@{\hspace{2em}} l@{\hspace{4em}} l}
a=\pgfmathprintnumber{\a}\, \text{cm} &
\chi=\pgfmathprintnumber{\Chi}^\circ &
r_C=\pgfmathprintnumber{\rC}\, \text{cm} \\[0.5em]
b=\pgfmathprintnumber{\b}\, \text{cm} &
r_B=\pgfmathprintnumber{\rB}\, \text{cm} &
|M_B M_C|=\pgfmathprintnumber{\MBMC}\, \text{cm} \\[0.5em]
& |MM_B|=\pgfmathprintnumber{\MMB}\, \text{cm} & \\[0.5em]
& |M M_C|=\pgfmathprintnumber{\MMC}\, \text{cm}
\end{array}$};
\end{scope}

% Rechnungen
\begin{scope}[shift={($(dreieck.north)+(0,\b)$)},
every label/.style={text=black},
]
\coordinate [label=0:$M$] (M) at (0,0);
\coordinate [label=left:$B$] (B) at (-\a,0);
%\coordinate [label=right:$A$] (A) at (\a,0);
\coordinate [label=0:$C$] (C) at (0,\b);
%\coordinate [label=-135:$D$] (D) at (0,-\b);
\coordinate[label=-135:$M_B$] (MB) at ([xshift=\rB cm]B);

% Oberes Dreieck =================
\draw[yshift=0cm] (B) -- (MB) node[midway, below]{$r_B$} -- (M) -- (C) -- cycle;

\pgfmathsetmacro\v{\a-\b}
\coordinate[label=-45:$B_2$] (B2) at ($(C)!\v cm!(B)$);
\coordinate[label=180:$B_3$](B3) at ($(B)!0.5!(B2)$);

\path[] (B2) -- (C) node[midway, above, sloped]{$a-b$};

\path[] (B) -- (B3) node[midway, above, sloped]{$s/2$};
\path[] (B3) -- (B2) node[midway, above, sloped]{$s/2$};
\draw[densely dashed] (B2) -- (MB);
\draw[densely dashed] (MB) -- +(180-\Chi:\rB) coordinate[label=$X_B$] (XB);
\draw[] (B3) -- (MB);

% Winkel
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\cdot$",
] {angle =B--B3--MB};
\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\alpha$",
] {angle =MB--B--B3};
\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\chi$"
] {angle =B3--MB--B};



% Unteres Dreieck ====================
\coordinate[label=0:$M_C$] (MC) at ([yshift=-\MMC cm]M);
\draw[] (M) -- (MC) -- (MB);

\path[] (MB) -- (M) node[midway, above]{$a-r_B$};
% Winkel
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\cdot$",
] {angle =MB--M--MC};
\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\alpha$",
] {angle =M--MC--MB};
\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\chi$"
] {angle =MC--MB--M};

% Punkte
\foreach \P in {M, B2, B3, MB, XB} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

% Text
\node[draw=none, anchor=north west, xshift=2.25em, yshift=0.75em, align=left, text width=\a cm] at (C){
$|MB|=:a, ~~~ |MC|=: b$ \\[0.75em]
$|BB_2| =: s=\sqrt{a^2+b^2}-(a-b)$ \\[0.75em]
$\tan(\alpha) = \dfrac{b}{a}$  \\[0.75em]
$\boxed{\chi=90^\circ - \alpha}$   \\[0.75em]
$\boxed{r_B = \dfrac{s}{2 \cos(\alpha)}   = |M_B X_B|  }$ \\[0.75em]
$\boxed{|MM_B| = a-r_B}$ \\[0.75em]
$\boxed{|MM_C| = \dfrac{a-r_B}{\tan(\alpha)}}$ \\[0.75em]
$r_C = |MM_C| + b = |CM_C|$ \\[0.75em]
$|M_B M_C| = \dfrac{a-r_B}{\sin(\alpha)}$
};
\end{scope}

\end{tikzpicture}
</math>




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