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Universität/Hochschule Laplace-Experiment
Drgglbchr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-09


Wie kann ich auf schnellem Wege herausfinden, mit welcher Wahrscheinlichkeit man beim 6. Wurf eine Sechs erhält?
Also ohne alle Möglichkeiten durchzuzählen



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-09


Da braucht man nichts durchzuzählen. Die W'keit beträgt 1/6. (Ein fairer Würfel vorausgesetzt.)



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Conny42
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-02-09


Huhu Drgglbchr,

wenn du einmal würfelst, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, eine 6 zu würfeln, ja gerade 1/6.
Wenn du nun 6mal würfelst, ist es für das Ergebnis beim 6. Wurf völlig egal, was du bei den vorherigen 5 Würfen gewürfelt hast.
Also ist die Wahrscheinlichkeit, im 6. Wurf eine 6 zu würfeln, ebenfalls 1/6.

Liebe Grüße,
Conny

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-10


Ich verstehe die Aufgabe so:

· Die Wahrscheinlichkeit bei irgendeinem Wurf, z.B. beim $n$-ten Wurf, eine $6$ zu würfeln ist $\dfrac16$.

· Die Wahrscheinlichkeit vor dem $n$-ten Wurf keine $6$ zu würfeln ist $\left( \dfrac56 \right)^{n-1}$

· Die Wahrscheinlichkeit erst beim $n$-ten Wurf eine $6$ zu würfeln ist entsprechend (ohne alle Fälle zu zählen ist im Baumdiagramm nur noch ein Ast möglich)  $\dfrac16 \cdot \left( \dfrac56 \right)^{n-1}$

Für $n=6$:       $\dfrac16 \cdot \left( \dfrac56 \right)^{5}
\approx 6{,}7\%
$



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Drgglbchr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-10


Ich soll genau beim 6. Wurf eine 6 erhalten. Über die vorherigen 5 Würfe sagt die Angabe nichts aus...
Deshalb dachte ich, dass es schon möglich sein könnte davor eine, zwei, drei, vier oder fünf 6en zu würfeln... gerade das stellt mich vor ein Problem...
Ich müsste ja für jeden Fall erst die Möglichkeiten im baumdiagramm durchzählen und das ist ganz schön viel Arbeit.



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-10


Die Wahrscheinlichkeit beim 6. Wurf (überhaupt) eine 6 zu würfeln ist 1/6, wenn die 6 Würfe unabhängig voneinander sind.
Die Eigenschaft "Unabhängigkeit" sichert gerade, dass das Ergebnis im 6. Wurf nicht von den vorherigen Würfen abhängt.
In einem Baumdiagramm Fälle auszuzählen kann man sich daher sparen.

In Beitrag #3 wird berechnet, mit welcher Wsk. man _erstmals_ im 6. Wurf eine 6 würfelt.



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Drgglbchr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-10


Ok. Ich dachte, dass ich alle Möglichkeiten miteinander verknüpfen muss.
Also (1/6)^6+5*((5/6)*(1/6)^5)+...
Aber einfach Wahrscheinlichkeit 1/6 hört sich plausibel an.



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Drgglbchr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-10


Weiß evtl jemand, wie ich noch beweisen kann, dass mit Wahrscheinlichkeit 1 unendlich oft 6 kommt? Ich soll das SLLN dazu verwenden



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-02-10


Hallo

Was ist SLLN?

gruß Caban



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-02-10


@Caban:

SLLN: strong law of large numbers

Zu deutsch: starkes Gesetz der großen Zahlen.


Gruß, Diophant



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-02-11


Schreib doch mal auf, was das starke Gesetz der großen Zahlen in Deinem Fall eigentlich aussagt (Tipp: es macht eine Aussage über einen Grenzwert). Dann halte daneben, wie der Grenzwert aussieht, wenn die 6 _nicht_ unendlich oft geworfen wird.
Wenn Du die beiden Teile zusammenbringst, steht die Behauptung praktisch schon da.



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Drgglbchr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-11


Also das SLLN besagt in meinem Fall, dass das arithmetische Mittel einer Folge von unabhängigen Zufallsvariablen(also Folge von Würfen) fast sicher gegen 3,5 konvergiert.
Aber wie soll ich jetzt weiter vorgehen?
Ich weiß über diese Folge von Zufallsvariablen nur, dass sie jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/6 eine Aufenthaltsdauer von 1-6 annehmen...also theoretisch kann auch passieren, dass in keinem dieser Würfe eine 6 kommt, oder?



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-02-11


Ah, ok. Die Zufallsgröße ist ungünstig gewählt. Verwende stattdessen mal die Zufallsgröße X mit X=1, wenn eine 6 gewürfelt wurde und X=0 sonst.
Wogegen konvergiert laut SLLN der Mittelwert fast sicher?
Wogegen konvergiert laut der Mittelwert wenn es nur endlich viele Sechsen gibt?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-02-11


Hallo Drgglbchr,

2020-02-11 16:24 - Drgglbchr in Beitrag No. 11 schreibt:
Also das SLLN besagt in meinem Fall, dass das arithmetische Mittel einer Folge von unabhängigen Zufallsvariablen(also Folge von Würfen) fast sicher gegen 3,5 konvergiert.

Ich weiß über diese Folge von Zufallsvariablen nur, dass sie jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/6 eine Aufenthaltsdauer von 1-6 annehmen...also theoretisch kann auch passieren, dass in keinem dieser Würfe eine 6 kommt, oder?

Genau, es könnten ja auch abwechselnd Dreien und Vieren kommen, das konvergiert dann auch gegen 3,5.

Du solltest daher eine andere Zufallsvariable betrachten.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]



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Drgglbchr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-12


@Kitaktus: da wäre der erwartungswert dann 1/6, oder?
Und du meinst, für n gegen unendlich muss unendlich oft eine 6 kommen, da sonst das arithmetische Mittel gegen 0 geht und das wäre ja ein Widerspruch, oder?

Aber habe ich so auch schon gezeigt, dass die 6 mit Wahrscheinlichkeit 1 unendlich oft kommt?



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-02-12


Schau Dir die Aussage des Starken Gesetzes der Großen Zahlen nochmal _genau_ an. Da steht nicht, dass der Mittelwert _immer_ gegen 1/6 geht.

Es ergibt sich insbesondere kein Widerspruch. Die mittlere Anzahl an Sechsen _kann_ gegen 0 gehen, aber eben nur mit ...

Wenn Du die kleinen Stolperfallen umgangen hast, bist Du mit dem Beweis fertig.



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Drgglbchr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-12


Das SLLN besagt, dass das arithmetische Mittel P-fast überall gegen 1/6 konvergiert.
Also es gibt eine Menge A mit P(A)=1, sd für alle w aus A: das Mittel der Zufallsvariablen Xi(w) konvergiert gegen 1/6.

Das heißt es kann nur mit Wahrscheinlichkeit Null gegen null gehen.
Also muss mit Wahrscheinlichkeit 1 unendlich oft 6 kommen.

Bin ich so am richtigen Weg?



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2020-02-13


Ja. Ich würde noch den Satz einflechten, dass der Mittelwert gegen 0 geht, falls die 6 nur endlich oft geworfen wird, aber ansonsten passt es.



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2020-02-13


2020-02-10 13:48 - Drgglbchr in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich soll genau beim 6. Wurf eine 6 erhalten. Über die vorherigen 5 Würfe sagt die Angabe nichts aus...
Deshalb dachte ich, dass es schon möglich sein könnte davor eine, zwei, drei, vier oder fünf 6en zu würfeln... gerade das stellt mich vor ein Problem...
Ich müsste ja für jeden Fall erst die Möglichkeiten im baumdiagramm durchzählen und das ist ganz schön viel Arbeit.

Noch Mal zurück hierzu weil man sich scheinbar auf 1/6 geeinigt hat.
Im Startpost hätte ich zu gestimmt. Hier jedoch steht auf einmal ein 'genau'. Das liest sich für mich wie in geroyx Beitrag : 'erst beim n.ten Wurf' .
Eigentlich lese ich daraus 'nur beim sechsten wurf', deutsche Sprache ist irgendwie hier schlecht, Kannst du vielleicht den originaltext der Aufgabe zitieren?

Grüße CreasY



-----------------
Smile (:



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Drgglbchr
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Die Angabe lautet:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim 6. Wurf eine 6 zu erhalten?

Also hätte ich es so aufgefasst, dass es egal ist was davor gewürfelt wird



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Diophant
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Hallo,

mit Verlaub:
2020-02-13 14:27 - Drgglbchr in Beitrag No. 19 schreibt:
Die Angabe lautet:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim 6. Wurf eine 6 zu erhalten?

das kann in meinen Augen nicht sein. Denn wo kommt dieser sechste Wurf überhaupt her? Da muss doch zunächst eine komplette Beschreibung eines oder mehrerer Zufallsexperimente samt ggf. weiterer Vereinbarungen stehen, und was du zitierst ist dann eine Teilaufgabe daraus? Also so sieht das für mich jedenfalls aus.

So kann man aber die zur Debatte stehende Frage der richtigen Interpretation sicherlich nicht klären. Du solltest daher die gesamte Aufgabe im Originalwortlaut angeben.


Gruß, Diophant



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Drgglbchr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-14


Der zweite dieser Aufgabe lautet:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man beim 4. und beim 6. Wurf eine 6 erhält?

Davor wird nur gesagt, dass es sich um einen fairen Würfel handelt...



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2020-02-14


Moin,

ein letzter Versuch zur Klärung: wurdest du kürzlich nachts in einer dunklen Gasse überfallen, und man hat dir einen fairen Würfel in die Hand gedrückt zusammen mit der Aufforderung, sechsmal zu würfeln?

Oder machst du das immer, wenn von einem fairen Würfel die Rede ist?

Oder wo kommen diese sechs Würfe sonst her?

Bitte nicht falsch verstehen: aber es bringt hier nichts, mit einzelnen Teilaufgaben um sich zu schmeißen. Du solltest den kompletten Aufgabentext, bestehend aus Einleitung und allen Teilaufgaben, hier im Zusammenhang präsentieren. Dann könnten wir deine Fragen auch zielführend klären.


Gruß, Diophant



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Drgglbchr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-14


Die Angabe lautet wortwörtlich:
Ein fairer Würfel wird unendlich oft geworfen
1)wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man beim 6. Wurf eine 6 erhält
2) wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man beim 4. Wurf und beim 6. Wurf eine 6 erhält?
3) Beweise mithilfe des SLLN, dass mit Wahrscheinlichkeit 1 unendlich oft 6 kommt.
4) Beweise mithilfe des SLLN, dass mit Wahrscheinlichkeit 1 jede Zahl unendlich oft kommt.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2020-02-14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2020-02-14 12:46 - Drgglbchr in Beitrag No. 23 schreibt:
Die Angabe lautet wortwörtlich:
Ein fairer Würfel wird unendlich oft geworfen
1)wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man beim 6. Wurf eine 6 erhält
2) wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man beim 4. Wurf und beim 6. Wurf eine 6 erhält?
3) Beweise mithilfe des SLLN, dass mit Wahrscheinlichkeit 1 unendlich oft 6 kommt.
4) Beweise mithilfe des SLLN, dass mit Wahrscheinlichkeit 1 jede Zahl unendlich oft kommt.

So wird jetzt ein Schuh draus. Dann sind die Antworten von StrgAltEntf, Conny42 und Kitaktus richtig. Und die Wahrscheinlichkeit, dass beim 4. und beim 6. Wurf eine Sechs fällt, ist damit schlicht und ergreifend

\[P=\left(\frac{1}{6}\right)^2=\frac{1}{36}\]
Weil man dann nämlich nur diese beiden Würfe betrachtet.

Und wenn es anders gemeint sein sollte: dann wäre die Aufgabe einfach lausig formuliert.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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