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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Gleichmäßige und punktweise Konvergenz
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Universität/Hochschule J Gleichmäßige und punktweise Konvergenz
LineareAlgebruh
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-10


Guten Tag.
Ich bereite mich derzeitig auf meine Analysis 1 Klausur vor und muss sagen, ich habe leider schon sehr viel wieder verlernt, deswegen wollte ich kurz fragen, ob jemand über meinen Lösungsweg drüber schauen kann und mir sagen kann, ob das alles so in Ordnung geht. Hier die Aufgabe:



Kurz nochmal die Definitionen:
pw.: \( \forall x \in A: \forall \epsilon >0:\exists N_{\epsilon} \in \mathbb{N}: \forall n\geq N_{\epsilon}: |f_n(x) - f(x)| < \epsilon\)
glm: \(  \forall \epsilon >0:\exists N_{\epsilon} \in \mathbb{N}: \forall x \in A: \forall n\geq N_{\epsilon}: |f_n(x) - f(x)| < \epsilon\)
Okay, also zur punktweise Konvergenz: Man definiert sich einfach diese Funktion: \( g(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & x = 0 \\
0 & \, \textrm{sonst} \\
\end{array}
\right. \)
Sei also \( \epsilon > 0\), jetzt betrachtet man zwei Fälle:

Fall 1, \( x=0 \)
Dann ist \( f_n(x) = f(nx) = f(0) = 1-0² = 1\). Dann wäre \( |f_n(x) - g(x)| = |1-1| = 0 < \epsilon\)
In diesem Fall kann man sein \( N_{\epsilon}\) also beliebig wählen.

Fall 2, \( x\neq 0\)
Jetzt wählt man sich \( N_\epsilon := \frac{1+\epsilon}{x}\), dann bekommt man nämlich: Für \( n\geq N_{\epsilon} \implies |nx| \geq |Nx|=|\frac{1+\epsilon}{x} \cdot x| = |1+\epsilon| > 1\), somit wäre \( f_n(x) = 0\), also \( |f_n(x) - g(x)| = |0-0| = 0 < \epsilon\)

Also lässt sich immer so ein \( N_{\epsilon}\) finden sodass die Bedingung erfüllt ist.

Bei der gleichmäßigen Konvergenz bin ich mir jetzt aber unsicher. Mein Ansatz sehe wie folgt aus: Man wählt ein \( \epsilon > 0\), ein \(N_{\epsilon}\) und abhängig von diesen wählt man ein x, sodass die Bedingung nicht mehr erfüllt ist.
Sei jetzt also \( 1>\epsilon>0\), dann wähle \( x:=\frac{1-\epsilon}{n}\), dann \( |f_n(x) - g(x)| = |f(nx)-0| = |f(\frac{1-\epsilon}{n})|=|1-(1-\epsilon)^2| = |2\epsilon-\epsilon^2| \geq |2\epsilon-\epsilon| = |\epsilon|=\epsilon\geq\epsilon\)
Theoretisch hätte man ja jetzt ein x gefunden, sodass der Abstand zwischen Funkionenfolgen und Grenzfunktion nicht kleiner ist als Epsilon.
Ist das so richtig? Danke im Voraus!



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-10

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Hallo LineareAlgebruh,

im Großen und Ganzen ist das alles richtig, aber ein paar Feinheiten und Schönheitsfehler stecken noch drin.

Erstens bei deinem 2. Fall für die punktweise Konvergenz: Hier ist es unnötig, $N_\varepsilon$ von $\varepsilon$ abhängen zu lassen. Einfach $N_\varepsilon\geq\lvert\frac{1+\delta}{x}\rvert$ für ein beliebiges $\delta>0$ wählen. Zum Beispiel einfach $N_\varepsilon\geq\lvert\frac{2}{x}\rvert$. Das würde ich als Schönheitsfehler bezeichnen.
Im selben Abschnitt definierst du aber auch $N_\varepsilon:=\frac{1+\varepsilon}{x}$. Einerseits sollten hier Betragsstriche stehen, sonst kämen für negative $x$ auch negative $N_\varepsilon$ raus. Und weiter könnte hier auch eine beliebige reelle Zahl rauskommen. $N_\varepsilon$ soll aber natürlich sein. Man schreibt also besser "Wähle $N_\varepsilon\geq\lvert\frac{2}{x}\rvert$" (hier auch mit dem einfacheren $N_\varepsilon$ von oben).

Beim zweiten Teil machst du dir selbst das Leben schwer. Der gleichmäßige Grenzwert stetiger Funktionenfolgen ist nämlich stetig. $f_n$ sind alle stetig, $f$ aber nicht, also kann $f$ auch nicht der gleichmäßige Grenzwert von $f_n$ sein. Davon ab ist die Idee schon richtig, nur solltest du vielleicht dazu schreiben, dass diese Wahl eben für alle $n\in\N$ möglich ist, weshalb es kein geeignetes $N_\varepsilon$ geben kann.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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