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Mathematik » Stochastik und Statistik » Erwartungswert einer poissonverteilten Zufallsvariablen
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Universität/Hochschule J Erwartungswert einer poissonverteilten Zufallsvariablen
Webee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-13


Hallo zusammen,

ich komme bei einer Aufgabe zur Vorbereitung auf eine Klausur nicht ganz weiter:
Sei \(X\) eine poissonverteilte Zufallsvariable mit Parameter \(\lambda>0\). Berechnen Sie $\mathbb{E} [\frac{1}{(X+1)(X+2)}]$.
Ich hätte jetzt einfach drauf los gerechnet und erhalte mithilfe der Eigenschaften einer Poissonverteilung:
$\mathbb{E} [\frac{1}{(X+1)(X+2)}]=\sum\limits_{x\in W_X} \frac{1}{(x+1)(x+2)}\cdot \mathbb{P}(X=x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{(k+1)(k+2)}\cdot \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}}=e^{-\lambda}\cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{\lambda^k}{(k+2)!}}=\frac{e^{-\lambda}}{\lambda^2}\cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{\lambda^{k+2}}{(k+2)!}}$. An dieser Stelle weiß ich leider nicht so recht weiter. Die Summe ist ja ziemlich ähnlich zu der Reihendarstellung der Exponentialfunktion, ich weiß aber nicht, ob mich das irgendwie weiter bringt.

Über Hilfe würde mich also sehr freuen.

Viele Grüße
Webee



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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-13


Hallo Webee,

mache einen Indexshift, dann hast du da die Exponentialreihe ohne die ersten beiden Terme stehen (d.h. die Reihe ist $e^\lambda - 1 - \lambda$).



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Webee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-14


Ah, das ist einleuchtend. Dann kann man damit ja ziemlich leicht weiterrechnen.

Vielen Dank für den Hinweis.

Viele Grüße
Webee



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