Die Mathe-Redaktion - 23.02.2020 17:46 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 581 Gäste und 23 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Gockel Dune
Mathematik » Topologie » Homologie des Torus
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Homologie des Torus
Alif
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.11.2017
Mitteilungen: 125
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-14 11:34


Hallo Zusammen,

ich habe eine Nachfrage zur Berechnung der Homologie, konkret am Beispiel des Torus \(T^2\), die Berechnung mit Simplizialkomplex glaube ich verstanden zu haben, daher eine Ausführung von mir, wobei sich die Notation am Buch von Hatcher orientiert:

\(0 \rightarrow \mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z}^3 \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow 0 \\
H_i(T^2) \cong 0 \forall i \geq 3 \\
im(\partial_3)= 0 \\
\partial_2(U)=b-c+a , \partial_2(L)=a-c+b \\
\partial_2(U-L)=b-c+a-(a-c+b)=b-b-c+c+a-a=0 \\
ker(\partial_2)= \mathbb{Z} \Rightarrow H_2(T^2)= \mathbb{Z} \\
im(\partial_2)= \mathbb{Z} \\
\partial_1(a) = \partial_1(b) = \partial_1(c) = v-v = 0 \\
ker(\partial_1)= \mathbb{Z}^3 \Rightarrow H_1(T^2)= \mathbb{Z}^2 \\
im(\partial_1)= 0 \\
\partial_0(v)= 0 \\
ker(\partial_0)= \mathbb{Z} \Rightarrow H_0(T^2)= \mathbb{Z} \)

Die Idee habe ich wie gesagt verstanden, ich habe nur die Schreibweise mit Erzeugern und Äquivalenzklassen bewusst weggelassen, da ich damit Probleme habe, vielleicht könnte mir das jemand kurz erklären, hierzu:
\(H_0(T^2)= \langle [v] \rangle , H_1(T^2)= \langle [a],[b] \rangle , H_2(T^2)= \langle [U-L] \rangle\)

Zudem habe ich auch Probleme das gleiche Ergebnis mit Hilfe der Mayer-Vietoris-Sequenz zu erhalten, dazu habe ich schon englische Beispiele im Internet gefunden, aber dabei verwirrt mich immer, dass man Abbildungen definiert, von denen man weder Kern noch Bild sucht, außerdem kann man auch oft erkennen, dass bestimmte Abbildungen injektiv oder surjektiv sein müssen, vielleicht könnte mir jemand zum Torus mal einen komplett neuen Input geben und ich schaue dann nochmal, ob es dann klappt.

Danke schon jetzt für jede Hilfe.

Schöne Grüße
Alif



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Alif
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.11.2017
Mitteilungen: 125
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-16 12:11


Nachdem anscheinend keiner versteht, was ich wissen möchte, versuche ich es mal selbst, auch wenn das eine zweite Rechnung fordert:

Wir zerlegen \(T^2\) in \(A = B = S^1\) isomorph zur linken oder rechten Hälfte des Torus und der Schnitt ist dann \(A \cap B = S^1 \cup S^1\) also die disjunkte Vereinigung zweier 1-Sphären, dann ist der relevante Teil von Mayer-Vietoris, der nicht nur Null als Einträge liefert:
\(0 \rightarrow 0 \rightarrow H_2(T^2) \rightarrow \mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z}^2 \rightarrow H_1(T^2) \rightarrow \mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z}^2 \rightarrow H_0(T^2) \rightarrow 0 \)
Aufgrund der Exaktheit dieser Sequenz gilt \(ker f_n = im f_{n-1}\) wenn wir die Funktionen der Sequenz in der Zähl-Reihenfolge benennen.
\(k=2:
0 \rightarrow 0 \rightarrow H_2(T^2) \rightarrow \mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z}^2 \ \ mit \ Funktionen \ \ f_1, f_2, f_3 \ \ und \ \ f_4 \\
ker f_2 = 0 \\
f_4(a,b) = (a+b,a+b) \Rightarrow ker f_4 = im f_3 = \mathbb{Z}(1 , -1)^T = \mathbb{Z} \\
0 \rightarrow 0 \rightarrow H_2(T^2) \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow 0 \\
\Rightarrow H_2(T^2) = \mathbb{Z} \\
k=1:
\mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z}^2 \rightarrow H_1(T^2) \rightarrow \mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z}^2 \ \ mit \ Funktionen \ \ f_4, f_5, f_6 \ \ und \ \ f_7 \\
f_4(a,b) = (a+b,a+b) \Rightarrow im f_4 = ker f_5 = \mathbb{Z}(1 , 1)^T = \mathbb{Z} \\
f_7(a,b) = (a+b,a+b) \Rightarrow ker f_7 = im f_6 = \mathbb{Z} \\
0 \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow H_2(T^2) \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow 0 \\
\Rightarrow H_1(T^2) = \mathbb{Z}^2 \\
k=0:
\mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z}^2 \rightarrow H_0(T^2) \rightarrow 0 \ \ mit \ Funktionen \ \ f_7, f_8 \ \ und \ \ f_9 \\
im f_9 = 0 \\
f_7(a,b) = (a+b,a+b) \Rightarrow im f_7 = ker f_8 = \mathbb{Z} \\
0 \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow H_2(T^2) \rightarrow 0 \rightarrow 0 \\
\Rightarrow H_0(T^2) = \mathbb{Z} \)

Sollten hier Fehler sein, bitte ich um Erklärungen oder andere Hilfen zu Mayer-Vietoris, und danke schon jetzt für jede schnelle Antwort.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Alif wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]