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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Zusammenhang zwischen Galoistheorie und Zahlentheorie
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Autor
Universität/Hochschule Zusammenhang zwischen Galoistheorie und Zahlentheorie
Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 625
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-14 15:58


Hey,
es geht um die Frage, warum die Galoistheorie so wichtig ist für die Zahlentheorie und ob es intuitive Argumente dafür gibt? Beispielsweise baut man eine ganze Theorie auf, um letztlich solche Sachen lösen zu können wir \(X^2 + 2 = Y^3\), wo man gar nicht mit rechnen würde, dass die aufgebaute Theorie hier anwendbar ist. Beispielsweise hat ein Freund von mir eine algebraische Zahlentheorie Vorlesung gehört mit sehr viel Theorie und weiß noch immer nicht (glaube ich) wie man die Theorie bei zahlentheoretischen Problemen anwendet; das spricht vielleicht dafür, dass es eventuell doch nicht so intuitiv ist, dass Galoistheorie bei Zahlentheorie hilft.
Ich denke mal Zahlentheorie untersucht Zahlkörper und endliche Körpererweiterungen heißt Galoistheorie anwenden, so als kurze Antwort...
Gibt es aber mehr Insight zwischen dieser Verbindung?

Red_



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Saki17
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 631
Aus: Fernost
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-15 16:05


Hi,

ein Beweis zum berühmten Satz von Mordell-Weil benutzt die Kummer-Paarung. Sei $A$ eine abelsche Varietät über einem Zahlkörper $K$, $m\in \IN_{\geq 1}$ und $A_m$ die Untergruppe der $m$-Torsionspunkte von $A$. Ferner gelte $A_m\subset A(K)$. Dann gibt es eine nicht-ausgeartete (Kummer-)Paarung/Bilinearform $$A(K)/mA(K)\times Gal\left(K\left(\frac{1}{m}A(K)\right)/K\right)\to A_m.$$ Nach algebraischer Geometrie sind die Körpererweiterung $K\left(\frac{1}{m}A(K)\right)/K$ und die Gruppe $A_m$ endlich, also ist die Galoisgruppe $Gal\left(K\left(\frac{1}{m}A(K)\right)/K\right)$ und somit die Faktorgruppe $A(K)/mA(K)$ endlich. Mit einem elementaren (Fermats) Abstiegsargument folgt, dass die abelsche Gruppe $A(K)$ endlich erzeugt ist.

Ich habe das obige von [Bombieri-Gubler, Heights in Diophantine Geometry, Ch.10] gelernt.

Mir scheint, dass die (angemessen definierte) Wirkung der Galoisgruppen auf arithmetische Objekte die Arithmetik vermitteln könnte. Davon weiß ich allerdings noch zu wenig.



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Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 625
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-15 17:52


Hey,
ich verstehe leider nichts von abelschen Varietäten, aber ich weiß ungefähr was du vermitteln möchtest mit deinen letzten Sätzen. Arithmetik hängt ja seit jeher mit der Geometrie zusammen und nahezu alles kann man mit der Algebra verknüpfen und untersuchen. Die Algebra selbst ist eben sehr unintuitiv aus den Augen eines Anfängers wie mir.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 557
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-23 17:38


Ich habe heute diesen Thread auf MSE gefunden, wo zumindest einige Beispiele für die Verbindung algebraischer Zahlentheorie mit elementarer Zahlentheorie gezeigt werden.

Einige Kommentare zur Galoistheorie:
- Wenn $L/K$ eine Galois-Erweiterung ist, dann ist die Verzweigungstheorie sehr angenehm: Alle Verzweigungsindizes und Trägheitsgrade stimmen überein.

- Sehr wichtig scheint auch das Verständnis absoluter Galoisgruppen wie $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ oder $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}_p/\mathbb{Q}_p)$ zu sein.

- Tatsächlich geht es in der Klassenkörpertheorie auch um das Studium von Galoisgruppen: "The goal of class field theory is to describe the Galois extensions of a local or global
field in terms of the arithmetic of the field itself." [Milne, Class Field Theory, p. 1]
Das scheint sich auch mit Saki17s letzten Satz zu decken.

Leider weiß ich aber zurzeit noch nichts über diese Sachen :-(


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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kurtg
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Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1200
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-02-23 18:35


Hi,

das erste nichttriviale Resultat der Zahlentheorie ist ja vielleicht das quadratische Reziprozitätsgesetz. Dieses besser zu verstehen und zu verallgemeinern führt auf das Studium der absoluten Galoisgruppe, genauer ihrer Abelisierung.



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