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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Zusammenhang zwischen Galoistheorie und Zahlentheorie
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Autor
Universität/Hochschule J Zusammenhang zwischen Galoistheorie und Zahlentheorie
Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 664
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-14


Hey,
es geht um die Frage, warum die Galoistheorie so wichtig ist für die Zahlentheorie und ob es intuitive Argumente dafür gibt? Beispielsweise baut man eine ganze Theorie auf, um letztlich solche Sachen lösen zu können wir \(X^2 + 2 = Y^3\), wo man gar nicht mit rechnen würde, dass die aufgebaute Theorie hier anwendbar ist. Beispielsweise hat ein Freund von mir eine algebraische Zahlentheorie Vorlesung gehört mit sehr viel Theorie und weiß noch immer nicht (glaube ich) wie man die Theorie bei zahlentheoretischen Problemen anwendet; das spricht vielleicht dafür, dass es eventuell doch nicht so intuitiv ist, dass Galoistheorie bei Zahlentheorie hilft.
Ich denke mal Zahlentheorie untersucht Zahlkörper und endliche Körpererweiterungen heißt Galoistheorie anwenden, so als kurze Antwort...
Gibt es aber mehr Insight zwischen dieser Verbindung?

Red_



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Saki17
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 645
Aus: Fernost
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-15


Hi,

ein Beweis zum berühmten Satz von Mordell-Weil benutzt die Kummer-Paarung. Sei $A$ eine abelsche Varietät über einem Zahlkörper $K$, $m\in \IN_{\geq 1}$ und $A_m$ die Untergruppe der $m$-Torsionspunkte von $A$. Ferner gelte $A_m\subset A(K)$. Dann gibt es eine nicht-ausgeartete (Kummer-)Paarung/Bilinearform $$A(K)/mA(K)\times Gal\left(K\left(\frac{1}{m}A(K)\right)/K\right)\to A_m.$$ Nach algebraischer Geometrie sind die Körpererweiterung $K\left(\frac{1}{m}A(K)\right)/K$ und die Gruppe $A_m$ endlich, also ist die Galoisgruppe $Gal\left(K\left(\frac{1}{m}A(K)\right)/K\right)$ und somit die Faktorgruppe $A(K)/mA(K)$ endlich. Mit einem elementaren (Fermats) Abstiegsargument folgt, dass die abelsche Gruppe $A(K)$ endlich erzeugt ist.

Ich habe das obige von [Bombieri-Gubler, Heights in Diophantine Geometry, Ch.10] gelernt.

Mir scheint, dass die (angemessen definierte) Wirkung der Galoisgruppen auf arithmetische Objekte die Arithmetik vermitteln könnte. Davon weiß ich allerdings noch zu wenig.



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Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 664
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-15


Hey,
ich verstehe leider nichts von abelschen Varietäten, aber ich weiß ungefähr was du vermitteln möchtest mit deinen letzten Sätzen. Arithmetik hängt ja seit jeher mit der Geometrie zusammen und nahezu alles kann man mit der Algebra verknüpfen und untersuchen. Die Algebra selbst ist eben sehr unintuitiv aus den Augen eines Anfängers wie mir.



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Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 630
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-23


Ich habe heute diesen Thread auf MSE gefunden, wo zumindest einige Beispiele für die Verbindung algebraischer Zahlentheorie mit elementarer Zahlentheorie gezeigt werden.

Einige Kommentare zur Galoistheorie:
- Wenn $L/K$ eine Galois-Erweiterung ist, dann ist die Verzweigungstheorie sehr angenehm: Alle Verzweigungsindizes und Trägheitsgrade stimmen überein.

- Sehr wichtig scheint auch das Verständnis absoluter Galoisgruppen wie $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ oder $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}_p/\mathbb{Q}_p)$ zu sein.

- Tatsächlich geht es in der Klassenkörpertheorie auch um das Studium von Galoisgruppen: "The goal of class field theory is to describe the Galois extensions of a local or global
field in terms of the arithmetic of the field itself." [Milne, Class Field Theory, p. 1]
Das scheint sich auch mit Saki17s letzten Satz zu decken.

Leider weiß ich aber zurzeit noch nichts über diese Sachen :-(


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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kurtg
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1206
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-02-23


Hi,

das erste nichttriviale Resultat der Zahlentheorie ist ja vielleicht das quadratische Reziprozitätsgesetz. Dieses besser zu verstehen und zu verallgemeinern führt auf das Studium der absoluten Galoisgruppe, genauer ihrer Abelisierung.



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xiao_shi_tou_
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 1234
Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-23

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\newcommand{\fin}[1]{#1^{\o{fin}}} \newcommand{\infin}[1]{#1^{\infty}} \newcommand{\Ql}{\Q_{\ell}} \newcommand{\dbquot}[3]{{}_{#2}\backslash#1/_{#3}} \)
Hi Red.
Grundsätzlich ist es nicht sehr verwunderlich, dass die Galois-Theorie zahlreiche Anwendungen in der Zahlentheorie hat (zum Beispiel CFT).

Aus folgenden zwei Gründen:
$1.)$ In der Zahlentheorie besteht ein Hauptinteresse darin Körpererweiterungen globaler und lokaler Körper zu verstehen.
$2.)$ Eine Körpererweiterung versteht man am besten dadurch, dass man die Galois-Gruppe dieser Erweiterung versteht.

Das ist keine konkrete Antwort auf deine Frage, aber vielleicht eine Motivation.
LG



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”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
\(\endgroup\)


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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-02-23


Noch ein Resultat, welches Zahlkörper mit Galoistheorie verbindet: Der Satz von Kronecker-Weber besagt, dass alle endlichen abelschen Erweiterungen von $\mathbb{Q}$ in zyklotomischen Körpern eingebettet sind.


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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-23


Vielen Dank, all euren Antworten waren mir sehr hilfreich!
Mit XST's Antwort habe ich ein gutes Verständnis dafür, warum Galoistheorie in natürlicherweise wichtig für die Zahlentheorie ist, danke!

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]

Edit: @Kezer das habe ich auch vor kurzem gelesen und fand es erstaunlich, vor allem wurde Beispiele angegeben, wo einige bestimme Irrationale Zahlen als Summe von Einheitswurzeln dargestellt wurde.
Ich habe nach danach gegooglet, warum 163 so eine besondere Primzahl ist, da kam sehr vieles dabei raus, was ich leider erst in ein paar Jahren erst verstehen werde  😁



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-27


Hey,
habe in meinem Buch vor kurzem auch folgendes festgestellt:
Die Idee Ringerweiterungen zu betrachten taucht relativ natürlich auf (wie z.B. bei der Lösung der Gleichung \(X^2 +2 = Y^3\) oder \(X^2 +1 = Y^3\)). Dann kann man auch endliche Körpererweiterungen \(K\) von \(\mathbb{Q}\) betrachten, was in meinen Augen durch FLT motiviert wird, man sucht nämlich Lösungen von \(X^n + Y^n = 1\) in \(\mathbb{Q}\) und die linke Seite kann man mit der n-ten Einheitswurzel faktorisieren etc. Natürlich kann man in der Zahlentheorie auch nach Lösungen in \(\mathbb{Q}\) fragen, statt nur in \(\mathbb{Z}\). Da \(\mathbb{Z}\) und \(\mathbb{Q}\) in einer gewissen Verbindung stehen, versucht man ein Analogon von \(\mathbb{Z}\) zu finden für \(K\). Hier geht man komischerweise zu \(O_K\) rüber, was in gewisser weise natürlich ist, aber nicht kanonisch (d.h. warum \(O_K\)? Gab es mehrere Ansätze und \(O_K\) hat sich als sehr bewährt herausgestellt?)
Jetzt ist es wichtig zu wissen:
\(a\in K\) ist ganz-algebraisch iff \(a\) ist algebraisch über \(\mathbb{Q}\) und das Minimalpolynom liegt in \(\mathbb{Z}[X]\) (Hinrichtung folgt mit einem Satz von Gauß...). D.h. es ist natürlich das Minimalpolynom zu studieren und die haben wir ''exakt'' bestimmt bei Galoiserweiterungen, da die Nullstellen des Minimalpolynoms genau die Bahn der Wirkung der Galoisgruppe auf dieses eine Element \(a\) ist.


Kann einer von euch vielleicht obige Frage genauer erläutern?



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-02-28


2020-02-27 21:37 - Red_ in Beitrag No. 8 schreibt:
(d.h. warum \(O_K\)? Gab es mehrere Ansätze und \(O_K\) hat sich als sehr bewährt herausgestellt?)

Meinst du diese Frage? Ich finde die Frage sehr gut und interessiere mich auch für Antworten anderer.

Zunächst mal: Vielleicht verwechsle ich die Begrifflichkeiten, aber ich denke die Konstruktion ist kanonisch, und die Frage ist, wieso sie natürlich sein soll.
Sie ist kanonisch, denn gegeben ein Zahlkörper $K$, so ist $\mathcal{O}_K$ eindeutig. Naiv würde man vielleicht für $K = \mathbb{Q}(\alpha)$ dann den Ring $\mathbb{Z}[\alpha]$ probieren. Allerdings gibt es Möglichkeiten $\mathbb{Q}(\alpha) = \mathbb{Q}(\beta)$, aber $\mathbb{Z}[\alpha] \neq \mathbb{Z}[\beta]$. Deshalb ist es extrem wichtig, dass die Konstruktion des Ganzheitsrings kanonisch ist.

Deshalb ist denke ich die Frage: Wieso ist diese Konstruktion natürlich - d.h. wieso keine andere Konstruktion?

Ich würde so mit einer Motivation anfangen: Offenbar wollen wir etwas Analoges zu algebraischen Körpererweiterungen $\mathbb{Q}(\alpha)$ für Ringe. Man erhält $\alpha$ als Nullstelle eines Minimalpolynoms $\mu_\alpha \in \mathbb{Q}[X]$. (Für genügend schöne Körpererweiterungen, i.e. normale Körpererweiterungen, ist $\mathbb{Q}(\alpha)$ sogar der Zerfällungskörper von $\mu_\alpha$.)
Also kann man auf die Idee kommen, ebenso Polynomlösungen zu betrachten. Schließlich gilt (wegen deiner letzten Bemerkung) $$ \mathcal{O}_K = \{b \in K: \mu_{K/\mathbb{Q}, b} \in \mathbb{Z}[X] \}.$$ Da man Ringerweiterungen von $\mathbb{Z}$ haben möchte, könnte man das also gute Wahl einsehen.

Der letzte Teil dieses Argumentes überzeugt mich selbst aber leider auch nicht wirklich.

Ich denke aber, dass dir bewusst ist, dass sich herausgestellt hat, wie nützlich $\mathcal{O}_K$ ist. Hier nur einige wenige Eigenschaften, die in Einführungskursen vorgestellt werden:
- Existenz einer Ganzheitsbasis
- Leicht bestimmbar für quadratische Erweiterungen
- Dedekindring und Noethersch
- Invarianten wie Norm/Diskriminante lassen sich basisunabhängig für $\mathcal{O}_K$ definieren
- Einheitsgruppe ist klassifiziert (Dirichlet)
- Für endliche Körpererweiterungen $K/\mathbb{Q}_p$ ist der Bewertungsring genau der Ganzheitsring.
- und viel viel mehr.

P.S.: Viele denken, dass die Hauptmotivation vieler großer Zahlentheoretiker FLT ist - denn fast alle Bücher motivieren die Theorie mit FLT. Das ist aber ein Mythos, geschichtlich war z.B. Kummer tatsächlich kaum interessiert am FLT, sondern wollte die Reziprozitätssätze entwickeln (MO/34806).
Aber natürlich können wir trotzdem noch die Theorie mit FLT heranziehen, da es auch meiner Meinung nach eine gute Motivation ist. Ich möchte aber anmerken, dass es geschichtlich nicht unbedingt so war.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Red_
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Hey Kezer,
genau die Frage war gemeint.
Für mich heißt natürlich, dass es eben einer der ersten Ideen sein könnte, es so zu definieren, ohne lange rum zu überlegen. Kanonisch heißt für mich, dass es an sich die einzige sinnvolle Weise ist es so zu machen. D.h. es könnte mehrere natürliche Definitionen geben, aber nur eine kanonische sage ich mal. Wie etwa, dass es zwei natürliche Isomorphismen von \(\mathbb{R}[X]/(X^2+1)\) nach \(\mathbb{C}\) gibt (Restklasse von \(X\) wird nach \(i\) oder \(-i\) abgebildet). Jedoch gibt es keinen kanonischen, da beide gleichberechtigt sind (der eine ist dem anderen in keinster Weise was vor).  

Sie ist kanonisch, denn gegeben ein Zahlkörper $K$, so ist $\mathcal{O}_K$ eindeutig. Naiv würde man vielleicht für $K = \mathbb{Q}(\alpha)$ dann den Ring $\mathbb{Z}[\alpha]$ probieren. Allerdings gibt es Möglichkeiten $\mathbb{Q}(\alpha) = \mathbb{Q}(\beta)$, aber $\mathbb{Z}[\alpha] \neq \mathbb{Z}[\beta]$. Deshalb ist es extrem wichtig, dass die Konstruktion des Ganzheitsrings kanonisch ist.
Diese Beobachtung finde ich sehr gut, ich hatte nämlich die Idee das primitive Element einfach naiv zu \(\mathbb{Z}\) zu adjungieren.

Deshalb ist denke ich die Frage: Wieso ist diese Konstruktion natürlich - d.h. wieso keine andere Konstruktion?
Letztendlich geht es genau um diese Frage 😄

Offenbar wollen wir etwas Analoges zu algebraischen Körpererweiterungen $\mathbb{Q}(\alpha)$ für Ringe
Ahh ich erinnere mich daran, folgendes in der Vorlesung gehabt zu haben: Also man kann die Theorie der algebraischen Zahlen einfach auf Ringe erweitern mit den gleichen Definitionen (was ''kanonisch'' ist und natürlich - aber nicht praktisch, wie sich herausstellen wird), jedoch muss der Leitkoeffizient genau 1 sein (könnte man als Analogon zum Minimalpolynom sehen), da sonst folgendes Lemma nicht gelten würde:
Sei \(\varphi : R \to R'\) ein Ringhomo. und \(b\in R'\). Dann sind äquivalent:
(i) \(b\) ganz über \(R\)
(ii) \(R[b]\) endlich über \(R\)
(iii) Existiert Unteralgebra \(b\in S\subset R'\), der endlich über \(R\) ist.

Und ich glaube man will nicht unbedingt gleiche Definitionen haben bei Verallgemeinerungen, sondern eher gleiche Lemmata, sodass man die Definitionen anpassen muss, was hier der Fall ist. Denn (i) => (ii) stimmt schon nicht, wenn man bei der Ganzheit das Polynom nicht als normiert voraussetzt, denn dann ist \(\mathbb{Q}\) ganz über \(\mathbb{Z}\), d.h. für \(b=1/2\) jedoch, dass \(\mathbb{Z}[1/2]\) nicht endlich über \(\mathbb{Z}\) ist.
Versteht mich aber nicht falsch, die Definition muss noch immer eine Verallgemeinerung sein und somit kompatibel mit der spezielleren Theorie, jedoch muss nicht die Definition 1zu1 abgeschrieben werden.

D.h. wir haben somit ein schönes Analogon zu ,,algebraisch'' gefunden, nämlich die ,,Ganzheit''. Von daher ist es natürlich den Ganzheitsring zu betrachten, da dieser einfach die gleiche Definition ist, wie bei der Definition des algebraischen Abschlusses von \(K\) in \(L\) (\(L/K\) Körpererweiterung, dann nehme man alle \(a\in L\), die algebraisch über \(K\) sind). Letztendlich ist das mächtigste Werkzeug der Zahlentheorie die Teilbarkeit, welche bei Körpern trivial ist, womit man wirklich bei Ringerweiterungen bleiben sollte (in erster Linie), sodass man für einen Zahlkörper \(K/\mathbb{Q}\) lieber die Ringerweiterung \(\mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q} \hookrightarrow K\) betrachtet. Und so die schönen Elemente des Ganzheitsrings studieren kann.

Und danke für dein Addendum, das war mir nicht bewusst, dass nicht jeder FLT als Ziel hatte zu lösen 😁



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