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Differentialgleichungen » Partielle DGL » PDE Wohlgestelltheit mit bestimmtem Wachstum bei Unendlich
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Universität/Hochschule PDE Wohlgestelltheit mit bestimmtem Wachstum bei Unendlich
Musikant88
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-14


Moin,

ich habe das Anfangswertproblem

<math>\displaystyle
\begin{cases}u_t-u_{xx}=cos(u)-0.5, & -\infty < x<\infty, t>0\\
u(x,0)=g(x), & -\infty < x< \infty\end{cases}
</math>

und würde gerne wissen, ob man für bestimmte unbeschränkte Anfangsbedingungen zeigen kann, dass dies wohlgestellt ist.

Also ich würde zum Beispiel gerne Funktionen
<math>\displaystyle
\{u : \frac{u}{e^{-\varepsilon\lvert x\rvert}}\in L^\infty(\mathbb{R})\}
</math>

betrachten, also unbeschränkte Funktionen, die aber bei <math>\pm\infty</math> langsamer als eine Exponentialfunktion wachsen,  und für diesen Funktionenraum wissen, ob die PDE wohlgestellt ist.

----

Ich glaube, das allgemeine Vorgehen ist, dass man die Lösung mit Duhamel's Formel schreibt als
<math>\displaystyle
u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{\frac{(x-\xi)^2}{4t}}g(\xi)\, d\xi
+\int_{0}^t \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{4\pi(t-s)}}e^{-\frac{(x-\xi)^2}{4(t-s)}}(cos(u)-0.5)\, d\xi\, ds
</math>

bzw. kürzer:

<math>\displaystyle
u(x,t)=(S(t)g)(x)+\int_0^t(S(t-s)(cos(u)-0.5))(x)\, ds
</math>

und dann zeigt, dass der zugehörige Operator <math>u\mapsto (S(t)g)(x)+\int_0^t(S(t-s)(cos(u)-0.5))(x)\, ds</math>

mit passender Norm eine Selbstabbildung und eine Kontraktion ist, sodass man den Banach'schen Fixpunktsatz anwenden kann?  😵


VG



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