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Strukturen und Algebra » Polynome » Minimalpolynom und Inverse eines Polynoms
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Universität/Hochschule Minimalpolynom und Inverse eines Polynoms
kingdingeling
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-14


Folgende Aufgabe



a) Es ist nicht besonders schwierig das Minimalpolynom zu berechnen
$$ a=\sqrt{3}+\sqrt{5}\Leftrightarrow (a-\sqrt{3})^2=5 \Leftrightarrow a^2-2a\sqrt{3}+3=5 \Leftrightarrow a^2-2=2a\sqrt{3} \Leftrightarrow \\ a^4-4a^2+4=12a^2 \Leftrightarrow a^4-16a^2+4=0
$$ Das Polynom $f=X^4-16X^2+4$ hat also die Nulsltelle $a$. Es ist außerdem normiert und mit dem Eisensteinkriterium irreduzibel für $p=2$. Daher ist es das Minimalpolynom von $a$ über $\mathbb{Q}[X]$.

Weiter gilt
$$ a^4-16a^2+4=0 \Leftrightarrow a^3-16a+4a^{-1}=0 \Leftrightarrow a^{-1}=\frac{16a-a^3}{4}
$$ b) Auch hier ist der erste Teil nicht schwierig. Es ist $g(a)=a^5+2a^3+a+1$ und wegen Teilaufgabe a) folgt $a^4-16a^2+4=0 \Leftrightarrow a^4=16a^2-4$, d.h.
$$ a^5+2a^3+a+1=aa^4+2a^3+a+1=a(16a^2-4)+2a^3+a+1= 18a^3-3a+1
$$ was eine Linearkombination von $\{1,a,a^2,a^3\}$ ist.

Meine Frage an euch wäre bzw. Bitte: Wie finde ich $g(a)^{-1}$? D.h. den ganz letzten Schritt in der Aufgabe?

Liebe Grüße
kingdingeling



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shadowking
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-14


Hallo kingdingeling,

hier gilt es, die Inverse von $18X^3-3X+1$ innerhalb des Körpers $\mathbb{Q}[X]/(X^4-16X^2+4)$ zu finden. Aufgrund der Irreduzibilität des Minimalpolynoms $p=X^4-16X^2+4$ von $\alpha$ wissen wir, dass diese Inverse existiert und selbst ein Polynom in $\mathbb{Q}[X]$ ist, das höchstens den Grad 3 besitzt.

Wir wählen also den Ansatz

$\displaystyle
(q_3X^3+q_2X^2+q_1X+q_0)\cdot(18X^3-3X+1)\,\equiv\, 1\,\mathrm{mod}\,X^4-16X^2+4$

Wenn wir den linken Term (per CAS) ausmultiplizieren und dann eine Polynomdivision durchführen, bei der uns lediglich das Restpolynom zu interessieren braucht, erhalten wir für dessen Koeffizienten vier lineare Terme in $q_0,q_1,q_2,q_3$. Wenn wir diese alle gleich Null setzen (abgesehen von dem für den konstanten Koeffizienten; diesen setzen wir gleich 1), liefert die Lösung des LGS eine Darstellung von $\frac{1}{18\alpha^3-3\alpha+1}$ in $1,\alpha,\alpha^2$ und $\alpha^3$.

Gruß shadowking


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Niemand ist hoffnungsloser versklavt als der, der fälschlich glaubt frei zu sein.
- Johann Wolfgang von Goethe




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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-02-14


2020-02-14 17:25 - kingdingeling im Themenstart schreibt:
Das Polynom $f=X^4-16X^2+4$ hat also die Nulsltelle $a$. Es ist außerdem normiert und mit dem Eisensteinkriterium irreduzibel für $p=2$.

Ja, das Polynom ist irreduzibel über $\mathbb Q$, aber ich sehe nicht, dass das Eisensteinkriterium mit $p=2$ hier anwendbar wäre. Wie kommst du darauf?  😵



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kingdingeling
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-19


Tut mir leid @weird, ich hatte das nicht mehr gelesen, war einige Zeit weg... ich schaue es mir mal nochmal an. Danke für deine Antwort! :)



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-04-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}}\)
Hallo,

alternativ zu shadowkings Ansatz kann man auch mit dem euklidischem Algorithmus angewandt auf die Polynome $p=X^4-16X^2+4$ und $q=18X^3-3X+1$, Polynome $u,v$ finden, für die $up+vq=1$ gilt. Es ist dann $v(\alpha)=q(\alpha)^{-1}=g(\alpha)^{-1}$.
\(\endgroup\)


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