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Analysis » Stetigkeit » Nullstellen, surjektiv, ZWS
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Universität/Hochschule Nullstellen, surjektiv, ZWS
bananachraumschiff
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  Themenstart: 2020-02-15

Hallo an alle, ich wiederhole gerade Ana I Aufgaben für die Klausur. Wir sollen in einer Aufgabe mithilfe des Zwischenwertsatzes folgendes beweisen: "Zeigen Sie, dass die Funktion f:\IR ->\IR definiert durch f(x) = x^5 - 4x^2 +1 (mindestens) drei Nullstellen besitzt und surjektiv ist. Folgender Ansatz: Für den Zwischenwertsatz muss ich zunächst zeigen, dass f stetig in allen x_0 ist. Das will ich zur Übung und weil es sich vermutlich am besten eignet über das Epsilon-Delta Kriterium machen. Ich weiß allerdings nicht, wie ich intelligent das \delta wähle. Anfangen würde ich mit Wähle \delta := ? |f(x)-f(x_0)| = abs((x^5 - 4x^2 + 1) - (x_0^5 - 4x_0^2 +1)) = abs((x^5 - 4x^2 + 1) - x_0^5 + 4x_0^2 -1) = abs(x^5 - 4x^2 - x_0^5 + 4x_0^2) Ich habe ohnehin sehr große Probleme damit, epsilon-delta-Beweise zu führen und wäre wirklich dankbar, wenn mir jemand da einen konstruktiven Rat geben könnte. Ich verstehe grundsätzlich die Definition von Stetigkeit, aber kann das meistens nur für einen ausgewählten Punkt zeigen. Danke! Diana PS: wir haben einige VL später induktiv bewiesen, dass alle Polynome stetig sind. Das war zu dem Zeitpunkt des Übungsblattes aber noch nicht bekannt.


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ochen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-15

Hallo, du könntest \[(x^5-x_0^5)-4(x^2-x_0^2)\] als Produkt von $x-x_0$ und einem weiteren Faktor darstellen.


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dietmar0609
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  Beitrag No.2, eingetragen 2020-02-15

Gehe mal pragmatisch vor und setze x=-1, x=0, x=1 und x=2. Unter der Annahme, dass Polynome stetig sind, siehst du sofort, dass es mindestens 3 Nullstellen gibt. LG Dietmar


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bananachraumschiff
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-15

\quoteon(2020-02-15 21:13 - dietmar0609 in Beitrag No. 2) Gehe mal pragmatisch vor und setze x=-1, x=0, x=1 und x=2. Unter der Annahme, dass Polynome stetig sind, siehst du sofort, dass es mindestens 3 Nullstellen gibt. LG Dietmar \quoteoff Danke für deine Antwort. Ich weiß, wie ich nach dem Beweis der Stetigkeit weiter mache, aber ich würde gern ohne die Annahme, dass alle Polynome stetig sind, zeigen, dass f stetig ist - im Idealfall mit epsilon-delta.


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Kitaktus
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  Beitrag No.4, eingetragen 2020-02-17

Der Ansatz für den expliziten Nachweis der Stetigkeit steht in #1. Nach der Faktorisierung muss man den zweiten Faktor nur irgendwie nach oben abschätzen und schon kann man $\delta$ in Abhängigkeit von $\varepsilon$ angeben.


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