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Analysis » Folgen und Reihen » Ist diese Zahlenfolge explizit oder als Bildungsvorschrift darstellbar?
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Kein bestimmter Bereich Ist diese Zahlenfolge explizit oder als Bildungsvorschrift darstellbar?
haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-16


$2,3,0,3,3,1,3,4,2,4,4,3,4,5,4,5,5,5,5,6,6,6,6,7.....$ 😵




-----------------
Gruß haegar90



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-16


In der OEIS steht sie nicht. Wie kommst du auf diese Folge?

Gruß, Slash


-----------------
Bound to be disappointing so why wait?



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-02-16


Da die Folge keine "einfache" Struktur hat, bräuchte man eine implizite Bildungsvorschrift, um eventuelle Vermutungen überprüfen zu können.



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-16


Hallo Slash,
die ersten neun Ziffern stammen aus einem Logik-Rätsel...  😄
Edit: zehn.

@Kitaktus
Ja, die Struktur scheint mir so wie unten dargestellt zusammengesetzt zu sein. Nur damit hat man ja noch keine Formel oder Bildungsvorschrift.

$\underbrace{2,3}_5 ,\overbrace{0}^{+1},\underbrace{3,3}_6,\overbrace{1}^{+1},\underbrace{3,4}_7,\overbrace{2}^{+1},\underbrace{4,4}_8,\overbrace{3}^{+1},\underbrace{4,5}_9,\overbrace{4}^{+1},\underbrace{5,5}_{10},\overbrace{5}^{+1},\underbrace{5,6}_{11},\overbrace{6}^{+1},\underbrace{6,6}_{12},\overbrace{7}^{+1}.....$

So müsste vor der ersten Ziffer eine $-1$ stehen.




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Gruß haegar90



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-02-16


Hallo

Ich würde für alle Folgeglieder der Formen 3*m, 3*m+1, 3*m+2 einzelne Folgen  aufstellen, vielleicht kann mas das noch vereinen.

Gruß caban



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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-16


Hallo, so könnte man Cabans Vorschlag formalisieren:

Sei $r$ der Rest von n bei Division durch 3.

wenn $r=0$, dann \[a_n=\frac{n}3-1\] wenn $r=1$, dann \[a_n=\left\lfloor\frac{n-2}6\right\rfloor +3\] wenn $r=2$, dann \[a_n=\left\lfloor\frac{n}6\right\rfloor +3\]



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buh
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-02-16


Hi haegar90,

das sieht wie

(2,3),0,(3,3),1,(3,4),2,(4,4),3,(4,5),4,(5,5),5,(5,6),6,(6,6),7, (7,7),8

eine Paarfolge mit Nummerierung mit dem theoretischen Anfang (0,0),-5,...aus.
Aber das haben bestimmt alle anderen auch gesehen.

Gruß von buh2k+20



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-17


Hallo zusammen,

danke für die guten Vorschläge #4, #5, #6.

Man kommt so mit $a_0=-6$ zu  $\lbrace -6, 0, 0, -5, 0, 1, -4, 1, 1, ...\rbrace$

 $$a_n=a_{n-6}+1+(3|n)\cdot 1$$
Was nicht nur wegen der hier von mir verwendeten fragwürdigen  😄 Schreibweise noch nicht wirklich zufriedenstellend ist. Vielleicht hat noch jemand eine passende Idee für eine Bildungsvorschrift oder eine bessere Lösung.

Welchen Grenzwert hat dann die Reihe  ? $$ S_n=\frac{\sum_{n=0}^\infty{n}}{\sum_{n=0}^\infty{a_n}}$$ $n\neq 20$


-----------------
Gruß haegar90



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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-02-17


Ein Polynom war bestimmt nicht gefragt, da es hier doch zu lang wird:
Interpolationspolynom
33569*x^23/783394446632878080000-865297*x^22/70250045486100480000+249383*x^21/149388719800320000-94118287*x^20/663518729502720000+178546579*x^19/21064086650880000-48496264759*x^18/128047474114560000+2943009641057*x^17/224083079700480000-28639576012309*x^16/79088145776640000+94534569539159*x^15/11716762337280000-1659019592918873*x^14/11298306539520000+394123554331361*x^13/179338199040000-173012418140254151*x^12/6373403688960000+29207491665986588051*x^11/105450861035520000-33510021521192867317*x^10/14379662868480000+6430069553186280947*x^9/399435079680000-64008722930684019767*x^8/706144158720000+104589606969292151827*x^7/254062448640000-1320977116971805570231*x^6/889218570240000+761349368554390008011*x^5/182509367040000-14536283010521772757141*x^4/1642584303360000+1086767588571039337*x^3/80047968000-30228061994117617951*x^2/2151003254400+15453150245902921*x/1784742960-2353336
(nur zur Info, da es ohne Randbedingungen unendlich viele Lösungen gibt)

querin s lange Beschreibung habe ich mal in eine explizite Funktion gewandelt, die fast alle Sprachen verstehen:
JavaScript wie Iterationsrechner
(1-sgn(x%3))*(x/3-1)+(1-sgn((x+5)%3))*(floor((x-2)/6)+3)+(1-sgn((x+4)%3))*(floor(x/6)+3)

Iterationsrechner mit Formel online berechnen :


Mit
wolframAlpha
sieht die Formel so aus:
wolframAlpha
table (1-sgn(n mod 3))*(n/3-1)+(1-sgn((n+5)mod 3))*(floor((n-2)/6)+3)+(1-sgn((n+4)mod 3))*(floor(n/6)+3),n=1...28

f(1)=2
f(10^9) = 166666669
...



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-02-17


Hallo

Für die erste Teilfolge 2,,3,,3 habe ich gefunden:

3/2*n+3/4+(1/4)*(-1)^n

Gruß Caban

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-02-17


Für den Grenzwert habe ich wegen Zeitmangel schnell mal mathematica zur Hilfe geholt:

Achtung beim 1. Index: die 2 hat Index 1, also
f(1)=2
f(2)=3 usw. -> d.h. die Beiden Summen beginnen mit Laufvariable n=1
(betrifft alle Beiträge bisher! Nur Beitrag 7 beginnt Folge mit Index 0.)
Hat aber keinen Einfluß auf Grenzwert:



Also da Summe der natürlichen Zahlen n*(n+1)/2 ist,
lautet der Grenzwert 9/2 = 4,5.

Selbst ohne Formeln sieht man numerisch, dass ab Index 1 Mio. der Grenzwert gegen 4,5 läuft:


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-17


2020-02-17 12:26 - Caban in Beitrag No. 9 schreibt:
Hallo

Für die erste Teilfolge 2,,3,,3 habe ich gefunden:
3/2*n+3/4+(1/4)*(-1)^n

Gruß Caban
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]

Hallo,

damit ist das eine mögliche Teilfolge. Auf zur Suche nach der nächsten  😄 . Könnte tatsächlich auf diese Weise gelingen.  
$=\frac{3}{2}n+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}(-1)^n$
  1. n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
  2. a_n 1 2 4 5 7 8 10 11 13 14 16 17



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Gruß haegar90



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-17


(2020-02-17 12:41 - hyperG in <a href=viewtopic.php?
....Also da Summe der natürlichen Zahlen n*(n+1)/2 ist,
lautet der Grenzwert 9/2 = 4,5.

Selbst ohne Formeln sieht man numerisch, dass ab Index 1 Mio. der Grenzwert gegen 4,5 läuft:


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]

Ja, habe auch mit Excel die Tendenz in Richtung $4,5$ erhalten.
Es wäre natürlich auch für den Grenzwert eine mathematische Formulierung wünschenswert. Weiß aber noch nicht wie das zu machen ist. 😵

Nun noch eine wenn wohl auch abwegige Frage:
Gilt nicht für die unendliche Summe aller $n \in \mathbb{N}$
$$ S_n=\sum_{n=1}^\infty{n}=-\frac{1}{12}$$ Wie sähe es dann mit dem Grenzwert aus ?






-----------------
Gruß haegar90



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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-02-17


2020-02-17 09:01 - haegar90 in Beitrag No. 7 schreibt:
Welchen Grenzwert hat dann die Reihe  ? $$ S_n=\frac{\sum_{n=0}^\infty{n}}{\sum_{n=0}^\infty{a_n}}$$ $n\neq 20$

Der Grenzwert ist leicht zu bestimmen, weil
\[\sum_{n=1}^{3N}{a_n}=N^2+4N\] und damit
\[S_{3N}=\frac{\sum_{n=1}^{3N}{n}}{\sum_{n=1}^{3N}{a_n}}=\frac{9N+3}{2N+8}\]



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-17


Hallo querin,

stehe peinlich auf dem Schlauch. ☹️

Wieso ist die Summe \[\sum_{n=1}^{3N}{a_n}=N^2+4N \;\; \text{?}\]


-----------------
Gruß haegar90



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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-02-17


2020-02-17 15:36 - haegar90 in Beitrag No. 12 schreibt:

.......


Nun noch eine wenn wohl auch abwegige Frage:
Gilt nicht für die unendliche Summe aller $n \in \mathbb{N}$
$$ S_n=\sum_{n=1}^\infty{n}=-\frac{1}{12}$$ Wie sähe es dann mit dem Grenzwert aus ?


Oh NEIN, dass ist ein grober Fehler aus der Rubrik:
Jeder schreibt von jedem im Internet ab & berücksichtigt keine Randbedingungen, also §27a aus:
Liste_der_von_Menschen_begangenen_Fehler



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2020-02-17


fed-Code einblenden



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2020-02-17


2020-02-17 19:54 - hyperG in Beitrag No. 15 schreibt:
2020-02-17 15:36 - haegar90 in Beitrag No. 12 schreibt:

.......


Nun noch eine wenn wohl auch abwegige Frage:
Gilt nicht für die unendliche Summe aller $n \in \mathbb{N}$
$$ S_n=\sum_{n=1}^\infty{n}=-\frac{1}{12}$$ Wie sähe es dann mit dem Grenzwert aus ?


Oh NEIN, dass ist ein grober Fehler aus der Rubrik:
Jeder schreibt von jedem im Internet ab & berücksichtigt keine Randbedingungen, also §27a aus:
Liste_der_von_Menschen_begangenen_Fehler


Jetzt mal abgesehen davon, dass du hier richtig argumentierst und auch die Liste der Irrtümer in deinem Link nicht uninteressant ist, muss doch klar gesagt werden, dass die Behauptung daraus


§5: Nicht jede Division durch 0 ist immer undefiniert -> hebbare Definitionslücke und Hebbarkeitssatz siehe auch sinc(x)=sin(x)/x

zumindestens sehr missverständlich ist. Die Funktion $\sin(x)/x$ ist an der Stelle $x=0$ klar nicht definiert. Wäre es anders, müsste man nicht von einer "Definitionslücke" sprechen und man bräuchte auch keine Zusatzdefinition für $x=0$ um die Stetigkeit dieser Funktion für alle $x\in\mathbb R$ nachträglich zu erzwingen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]



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querin
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2020-02-17 19:18 - haegar90 in Beitrag No. 14 schreibt:
Hallo querin,

stehe peinlich auf dem Schlauch. ☹️

Wieso ist die Summe \[\sum_{n=1}^{3N}{a_n}=N^2+4N \;\; \text{?}\]
Die Summen von je drei aufeinander folgenden $a_n$ ergeben die Folge der ungeraden Zahlen: $2+3+0=5$, $3+3+1=7$, $3+4+2=9$, $11,13,\dots$.
Die Summe der ungeraden Zahlen sind die Quadratzahlen. Weil hier die ungeraden Zahlen 1 und 3 fehlen, muss der Index der Quadratzahl um 2 verschoben und $1+3$ subtrahiert werden, also $S_{3N}=(N+2)^2-1-3=N^2+4N$ für $n\ge 1$.



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haribo
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2020-02-16 18:42 - haegar90 in Beitrag No. 3 schreibt:

$\underbrace{2,3}_5 ,\overbrace{0}^{+1},\underbrace{3,3}_6,\overbrace{1}^{+1},\underbrace{3,4}_7,\overbrace{2}^{+1},\underbrace{4,4}_8,\overbrace{3}^{+1},\underbrace{4,5}_9,\overbrace{4}^{+1},\underbrace{5,5}_{10},\overbrace{5}^{+1},\underbrace{5,6}_{11},\overbrace{6}^{+1},\underbrace{6,6}_{12},\overbrace{7}^{+1}.....$

So müsste vor der ersten Ziffer eine $-1$ stehen.


wenn es doppelte werbung für die feuerwehr rufnummer sein könnte, differenz immer 112112 [in sechsstelliger darstellung],
dann könnte als ziffer davor auch eine 9 stehen

118219
230331
342443
454555
566667

678779
790891
903003


überhaupt sollte man doch irgendwie beachten das es in der darstellung mit den vielen kommas nur den zahlenraum 0 bis 9 umfasst, also 10 zwischen zwei kommas schliesse ich damit dann eindeutig aus



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haegar90
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(2020-02-17 21:29 - querin in <a href=viewtopic.php?

.... Weil hier die ungeraden Zahlen 1 und 3 fehlen, muss der Index der Quadratzahl um 2 verschoben und $1+3$ subtrahiert werden, also $S_{3N}=(N+2)^2-1-3=N^2+4N$ für $n\ge 1$.


Danke für die Erklärung  😄 .


2020-02-17 20:48 - Caban in Beitrag No. 16 schreibt:
fed-Code einblenden

 😄 ... ob die irgendwie zu verbinden sind und sich damit der Folge annähern ? Mal probieren  😎  


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Gruß haegar90



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haegar90
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2020-02-17 19:54 - hyperG in Beitrag No. 15 schreibt:
2020-02-17 15:36 - haegar90 in Beitrag No. 12 schreibt:

.......


Nun noch eine wenn wohl auch abwegige Frage:
Gilt nicht für die unendliche Summe aller $n \in \mathbb{N}$
$$ S_n=\sum_{n=1}^\infty{n}=-\frac{1}{12}$$ Wie sähe es dann mit dem Grenzwert aus ?


Oh NEIN, dass ist ein grober Fehler aus der Rubrik:
Jeder schreibt von jedem im Internet ab & berücksichtigt keine Randbedingungen, also §27a aus:
Liste_der_von_Menschen_begangenen_Fehler
...ja, zum Glück eine abwegige Frage, hätte mich sonst auch verwirrt zurückgelassen  😮  


@haribo
Die Folge hat aber zwangsläufig auch zweistellige Glieder, so ist 9 statt -1 nicht möglich.
1,1,2,1,1,2	2	2      -1	2	3	0
		3	3	1	3	4	2
		4	4	3	4	5	4
		5	5	5	5	6	6
		6	6	7	6	7	8
 
 
		2	2	9	2	3	0
		3	3	11	3	4	2
		4	4	13	4	5	4
		5	5	15	5	6	6
		6	6	17	6	7	8



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2020-02-18


logik-rätsel hin oder her, eindeutig sind solche folgen wohl eher selten
haribo



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-18


Nun habe ich bei OEIS die Folge
$$a(n) = 1 - ( (n+1)^2 mod (1+(n^2 mod 3)) )$$ von  - Paolo P. Lava, Nov 29 2006 entdeckt welche die Sequenz $1,1,0,1,0,1,1,1,0,1,0,1,1,...$ liefert, wobei hier $0^0=1$ vorausgesetzt wird. Es ergäbe sich damit für $n>3$:

$$a_n=a_{n-3}+1-((n-2)^2 mod (1+((n-3)^2 mod 3)) )$$
EDIT: Noch eleganter ist diese  Wesley Ivan Hurt, Oct 13 2014
$$a(n)=(n\; mod 2)^{(n\; mod 3)}$$ liefert auch $1,1,0,1,0,1,1,1,0,1,0,1,1,...$



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Gruß haegar90



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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2020-02-18


Wenn immer noch bei OEIS nach Teil-Folgen gesucht wird (Beiträge 11 bis 23), bedeutet das also, dass meine längst komplett fertige explizite Funktion unter Beitrag 8 also ignoriert wird?

Ich habe auch noch eine 2. explizite Funktion, die statt mit mod & floor nun mit weichen sin-Funktionen funktioniert und gut zeichenbar ist (expliziter geht es nun wirklich nicht):
Mathematik
(cos(PI*x*2/3)*2/3+1/3)*(x/3-1)+(1-2*sin(PI/6-(2*PI*x)/3))*(6*x-4*sqrt(3)*sin((2*PI*x)/3)-12*cos((PI*x)/3)+3*cos(PI*x)+81)/108+(cos(PI*(x-2)*2/3)*2/3+1/3)*(x/6+3-(5/2-cos(PI*x)/2-cos(PI*x/3)-sqrt(3)*sin(PI*x/3)-cos(2*PI*x/3)-sqrt(3)/3*sin(2*PI*x/3))/6)


Der Plotter im Beispiel Plotter Beispiel 121 zeigt, dass beide bei ganzzahligen Argumenten exakt übereinstimmen (Neu + START).



Wer sich für die Erstellung solcher "weicher" sin-Funktionen interessiert: unter dem bereits genannten Iterationsrechner Beispiele 135 bis 138 kann man Stützstellen vorgeben und bekommt die Parameter der Trigonometrischen Interpolation berechnet.

Die lange sin-Funktion sind 3 gemittelte Regressions-Kurven, die nie übereinanderliegen und gemittelt werden können, da der Rest nun minimal schwankt:
sum  ((x/3 - 1) + ((x - 2)/6 + 3) + (x/6 + 3))/3, x=1...inf
= n (n + 15)/9 Summenformel für a_n.
Grenzwert:
S = lim n*(n+1)/2/(n (n + 15)/9),n->inf =
lim 9/2 - 63/n + 945/n^2 - 14175/n^3 ... =9/2



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haegar90
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2020-02-18 19:55 - hyperG in Beitrag No. 24 schreibt:
Wenn immer noch bei OEIS nach Teil-Folgen gesucht wird (Beiträge 11 bis 23), bedeutet das also, dass meine längst komplett fertige explizite Funktion unter Beitrag 8 also ignoriert wird?
.....

Nein, ganz bestimmt nicht.
Nur hier ist, wie gelegentlich bei solchen Fragen, eben auch der Weg das Ziel.  😄
Und was der Iterationsrechner dazu ausstößt ist sicher hoch professionell und auch bewundernswert  😮 ; da geht es fast mit Lichtgeschwindigkeit zum Ergebnis. Doch sieht und erkennt man unterwegs mehr, wenn man die Strecke auch mal zu Fuß abwandert. Und es sind eben die Beiträge wie diese hier zwischen #0 und #25, sowie auch die Un­ver­fro­ren­heit  😉  mit OEIS Kontakt zu haben, die den Weg weisen.

Dennoch, erstaunlich leistungsfähig der Iterationsrechner.


-----------------
Gruß haegar90



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hyperG
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OK, Du wolltest einen rekursiven Algorithmus und nicht wie in der Überschrift "...Zahlenfolge explizit...".
Zwar lässt sich daraus später schwer eine Summenformel und Limes berechnen, aber es ist durchaus legitim.

Genau für solche Zwecke wurde auch der Iterationsrechner entwickelt, um schnell mal zu kontrollieren, ob das auch so stimmt:

hier zeigt er
die Richtigkeit (überall Differenz 0):



Vorsicht beim Index. Dieser hier beginnt bei 0 und die Funktion von Wesley Ivan Hurt muss um 1 verschoben werden.

Oder so, aber dann um 2 verschoben in die andere Richtung:
 aB[i]=aB[i-3]+Fx(i-2)






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