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Analysis » Folgen und Reihen » Konvergenz einer Reihe
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Universität/Hochschule Konvergenz einer Reihe
MaxIMP2415
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-17


Leider hänge ich seit einiger Zeit an folgender Aufgabe:
Sei $a_n$ eine reelle Zahlenfolge mit nur positiven Gliedern: $\forall n \in \mathbb{N}: a_n>0$.
Die entsprechende Reihe divergiere:$\forall G \in \mathbb{R}: \sum_{n=1}^{\infty}a_n>G$
Nun soll ich das Konvergenzverhalten der folgenden Reihe bestimmen:
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{1+na_n} $$ Ich nehme an, dass diese ebenfalls divergiert.
Für den Fall $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n =\infty $ habe ich einen Beweis, den ich am Ende des Beitrags poste. Damit konnte ich halt abschätzen, dass $\frac{1}{a_n}$ beschränkt ist. Aber ohne diese Abschätzung bin ich leider auf kein Ergebnis gekommen... Meine Idee war zu nutzen, dass $a_n$ beschränkt ist, aber da führen meine Abschätzungen zu nichts, da ich den Summenindex n nicht abschätzen kann. Es würde klappen, wenn z.B.
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n} $$ divergieren würde, was es aber nicht muss..

Über Hinweise wäre ich sehr dankbar.

LG




Beweis falls $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n= \infty$ gilt:

Wir machen einige Abschätzungen und verwenden dann das Cauchy-Kriterium.
Wenn $a_n$ divergiert, gilt $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_n}=0$ Also gilt:
$$\forall \epsilon>0 \exists N_0\geq 1 \in \mathbb{N}, \forall n \geq N_0:  |\frac{1}{a_n}-0|=\frac{1}{a_n}<\epsilon $$ Sei $\epsilon:=1$:
$$ \forall n \geq N_0\geq 1: \frac{a_n}{1+na_n}=\frac{1}{\frac{1}{a_n}+n}\geq  \frac{1}{1+n}\geq \frac{1}{2n}$$ Nun verwenden wir das Cauchy-Kriterium:
$$ \exists \epsilon >0 , \forall N \in \mathbb{N}, \; \exists \; m\geq k\geq N: |\sum_{n=k+1}^{m}\frac{a_n}{1+na_n}|\stackrel{!}{\geq}\epsilon$$ $$ \Rightarrow \forall m,k \geq N_0: |\sum_{n=k+1}^{m}\frac{a_n}{1+na_n}|=\sum_{n=k+1}^{m}\frac{a_n}{1+na_n}\geq \frac{1}{2}\sum_{n=k+1}^{m}\frac{1}{n} \geq \epsilon$$ Da die harmonische Reihe divergiert, kann immer ein m gefunden werden, s.d die Partialsumme größer ist als jedes $\frac{\epsilon}{2}$.



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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-17


Hi,
die Reihe divergiert in manchen Fällen, wie schon von dir erkannt, aber sie kann auch konvergieren. Probier mal ein Beispiel zu konstruieren, sodass sie konvergiert.



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MaxIMP2415
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-17


Da stehe ich leider auf dem Schlauch. Alle Beispiele die mir eingefallen sind divergieren, da $a_n$ ja selbst divergieren muss. Wählt man $a_n$ so, dass es gerade noch divergiert - also die harmonische Reihe, divergiert die Reihe. Wählt man eine Potenzfunktion $n^p$ mit $p<1$ divergiert die Reihe auch. Ebenso so für log...

Was übersehe ich?



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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-17


Starte mal mit einer Folge $\{a_n’\}$ (alle $a_n'>0$), für die $\sum_{n=1}^\infty a_n’$ endlich ist. Bilde daraus die Folge $\{a_n\}$, indem du unendliche viele Folgeglieder durch 1 ersetzt, insbesondere ist dann $\sum_{n=1}^\infty a_n$ unendlich. Wenn du die $a_n’$ und die durch 1 ersetzten Folgeglieder geeignet gewählt hast, erhältst du Konvergenz der entsprechenden Reihe aus dem Themenstart.



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