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Mathematik » Stochastik und Statistik » Gauss Verteilung - Approximation
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Universität/Hochschule Gauss Verteilung - Approximation
Vic7687
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 17.02.2020
Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-17


Hallo Leute,

ich habe eine kleine Frage.

In einem Paper 'A Simpliffied Realization for the Gaussioan Filter in Surface Metrology'

wird die Gauss Verteilung mit der Funktion sin(x)/x genähert.

Man erhält dann

Edit: ^n verschluckt worden

fed-Code einblenden


c_n ist nach dem Text eine Konstante die abhängig von n ist.

Zudem ist eine kurze Tabelle von n und dazugehörigen c_n angegeben.

fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Die c_n s werden unter der Annahme dass fed-Code einblenden fed-Code einblenden ist berechnet.

Nun wollte ich die Werte nicht einfach so hinnehmen und würde gerne verstehen wie diese zu Stande kommen.
Dass die oben genannten Werte in Ordnung sind habe ich bereits mit WolframAlpha überprüft.

Mein Ansatz ist den Sinus mittels Taylor Reihe (drei Glieder) zu nähern.

fed-Code einblenden

Für n = 1

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Substitution mit fed-Code einblenden ergibt eine quadratische Gleichung die mittels PQ Formel gelöst werden kann:

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden und fed-Code einblenden

Betrachte ich a2 nun und ziehe die Wurzel (Substition) und teile durch fed-Code einblenden dann bekomme ich allerding einen Wert von 0,6124 heraus.

Ab der vierten Ordnung (n=4) entsprechen die Werte denen im Paper.

Habt ihr eine Idee / Ansatz wie ich für die niedrigen Ordnungen 1 - 3 die Werte reproduzieren kann?

Vielen Dank und Grüße
Victor



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3209
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo Victor und herzlich willkommen hier im Forum!

Vorneweg: von der Materie und somit vom Zustandekommen dieser Näherung und der Annahme \(H_n=0.5\) habe ich keine Ahnung (nebenbei: für was steht hier die Größe \(H_n\)?).

Aber der Sinn und Zweck deines Tuns hier scheint mir nicht zielführend zu sein. Wenn du wie gesagt \(H_n=0.5\) fest voraussetzt, dann geht es hier im Prinzip um den Schnittpunkt der beiden Funktionen \(f(x)=\frac{\sin x}{x}\) und \(g(x)=0.5\). Da gibt es entlang der positiven x-Achse genau einen bei ca. \(x\approx 1.895\), der in etwa \(\sqrt{3.675}\approx 1.917\) entspricht. Du hast diesen Schnittpunkt also per Taylorreihe angenähert, ich habe ihn mit GeoGebra berechnet.

Wie du jetzt auf die Idee kommst, dass es hier für \(c_n\) zu beliebig vielen Lösungen kommen soll unter der Forderung \(\lambda_c=\lambda\), das ist mir ehrlich gesagt schleierhaft.  😄

Könntest du zu dem ganzen vielleicht noch etwas mehr an Background geben (das würde sicherlich auch dabei helfen, den einen oder anderen MPler hierher zu locken, der von solchen stochastischen Anwendungen etwas versteht).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Vic7687
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 17.02.2020
Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-17


Hallo Diophant,

vielen Dank für deine Willkommensgrüßen und vielen Dank auch für deine Antwort. Ich freue mich hier zu sein.

Dein berechneter Wert ist schon mal eine ganze Ecke genauer als mein genäherter aber entspricht noch nicht dem im Paper angegegebenen Wert.

Edit
Ich habe auch mal in Geogebra geschaut. Der Genaue Schnittpunkt liegt bei
-1,8954942670566 und 1,8954942670566.
Die beiden Werte führen zu den gewünschten Ergenis der in dem Paper angegeben ist.
/Edit

Ich denke da ging während der Editierung meines Posts ein ^n in einer Gleichung verloren. Entschuldigung ich bin noch nicht ganz firm mit den Notationsregeln im Forum.

Es soll natürlich heißen:

fed-Code einblenden

Zu der Gleichung sagt das Paper folgendes:

"c is a constant to be determined by the condition that when fed-Code einblenden ,
fed-Code einblenden
Some values of n c are given in Table 1"


Mehr Background. Hm ich kann nur das Abstract des Papers zitieren.

Zitat: "A simplified realization for the Gaussian filter in surface metrology is presented in
this paper." [...] "According to the central limit theorem, when n approaches infinity, the
function (sinu u)n approaches the form of a Gaussian function."

Reicht das als Info?

Vic



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3209
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hm,

wie gesagt, von der Materie selbst verstehe ich leider nichts. Jetzt habe ich allerdings gerade Gauß-Filter mal gegoogelt und es wird mir etwas klarer, worum es geht (und dass man die Flankensteilheit offensichtlich über den Parameter n steuern kann).

Nun, da würde ich mal sagen, dass die Abweichungen der Tatsache geschuldet sind, dass du doch mit einem recht groben Näherungspolynom arbeitest. Wobei mich jetzt interessieren würde, wie du die Fälle \(n\ge 2\) genau berechnet hast: da bekommt man ja in aufsteigender Reihenfolge Polynomgleichungen achter, zwölfter, sechszehnter Ordnung usw.

Warum rechnest du nicht gleich mit der tatsächlichen Approximation \(\frac{\sin(\pi c_n)}{\pi c_n}\) (wenn du es eh nur so für dich machst)?


Gruß, Diophant  
\(\endgroup\)


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Vic7687
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Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-17


Ja genau. Damit kann man die Flanken des Filters steuern. Wenn man so in einem Thema drin ist, fällt es mir manchmal nicht leicht es zu erklären.

Auch für die höheren fed-Code einblenden
verwende ich nur die oben genannte Taylorreihe und da passen die Ergebnisse viel besser. (Im Rahmen meiner gewünschten Genauigkeit von vier Dezimalstellen)

Das habe ich mir auch gedacht dass die Reihenentwicklung bei den kleineren Ordnungen zu wenig Glieder hat. Aber dann läuft man in das Problem mit den Polynomen höherer Ordnungen.

Daher habe ich wie beschrieben nur bis zum dritten Glied entwickelt um einen simpleren Lösungsweg beschreiten zu können. (Zudem habe ich bei den n = 32 angefangen und mich dann gewundert dass es bei n = 3 und kleiner zu den genannten doch größeren Ungenauigkeiten kommt.)

Du meinst also dass es nur eine numerische Lösung zu diesem Problem gibt?

Danke nochmal.
Gruß Vic



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Diophant
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Mitteilungen: 3209
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2020-02-17 11:23 - Vic7687 in Beitrag No. 4 schreibt:
Das habe ich mir auch gedacht dass die Reihenentwicklung bei den kleineren Ordnungen zu wenig Glieder hat. Aber dann läuft man in das Problem mit den Polynomen höherer Ordnungen.

Daher habe ich wie beschrieben nur bis zum dritten Glied entwickelt um einen simpleren Lösungsweg beschreiten zu können. (Zudem habe ich bei den n = 32 angefangen und mich dann gewundert dass es bei n = 3 und kleiner zu den genannten doch größeren Ungenauigkeiten kommt.)

Du meinst also dass es nur eine numerische Lösung zu diesem Problem gibt?

Ja, so ist es. Mich würde mal deine Rechnung für den Fall \(n=4\) interessieren. Du musst doch das Polynom jeweils noch mit \(n\) potenzieren und dann gleich \(0.5\) setzen. Das würde ja auf die Gleichung

\[\left(1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}\right)^4=0.5\]
führen. Aber wie hast du die gelöst?

EDIT: das war Bodennebel meinerseits (auch das mit den Polynomgleichungen höherer Ordnung). Man muss ja nur die entsprechende Wurzel aus \(0.5\) ziehen...

Aber wie gesagt: ich würde die Tatsache, dass die Werte für größere n genauer werden, auf die Verwendung eines Taylor-Polynoms zurückführen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Vic7687
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-17


Hallo,
wie du breites selbst korrigiert hast das ist dann einfach die n-te Wurzel aus 0.5. Dennoch danke.

Ja das glaube ich leider auch. Mit dem nächste Glied wäre es:

fed-Code einblenden

An dem Schritt bin ich gerade angekommen. Ich schaue mal ob ich das Polynom dritten Grades gelöst bekomme.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-02-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

ok, da brauchst du die Cardano-Formel. Das ist dann schon ein recht gewaltiges Geschütz.

Hast du eigentlich auch schon an das Newton-Verfahren gedacht? Die Ableitung von \(f(x)=\left(\frac{\sin x}{x}\right)^n\) ist zwar etwas sperrig, aber nicht schwierig zu ermitteln.

Ich habe mir da jetzt allerdings keine Gedanken hinsichtlich der Konvergenz gemacht.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Vic7687
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-17


Hallo,

Die gleichen Gedanken habe ich auch.
Bei der Cardanische Formel bin ich gerade dabei.

Bin nicht so schnell muss noch re-substituieren

fed-Code einblenden

An das Newton Verfahren habe ich gedacht und auch schon die Ableitung bestimmt.

fed-Code einblenden

Gruß



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Vic7687
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-18


Ich hoffe dass es Ok ist wenn ich weiteren Post unter meinen eigenen setze.

Ich habe die Gleichung

fed-Code einblenden

Mittels der oben erwähnten Cardanischen Formel gelöst und bekomme als Wert 3,5890(2) heraus.

Zieht man die Wurzel daraus (da ich ja x=x^2) verwendet habe und teil anschließend durch Pi bekomme ich 0.6030(288) heraus.

Laut Paper sollte das 0.6034. Naja leider doch noch eine Diskrepanz. Nun könnte ein weiteres Glied, das ja nun wieder positiv ist, die die Differenz weiter verkleinern. Aber ich denke das es die Arbeit nicht lohnt.

Meine ursprünglich Frage war ja schon geklärt mit der Aussage dass es nur eine numerische Lösung gibt und keine algebraische.
Mich wundert es zwar immer noch dass für höhere n die 'ungenauere' Taylor Reihe besser nähert aber nun gut. Kann ich mir leider so noch nicht erklären.

Vielleicht hat einer eine Erklärung hierfür.

Vielen Dank nochmal an Diophant für deinen Input.

Viele Grüße
Vic



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-02-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo nochmals,

ich habe gerade ein wenig geplottet: jeweils ein zusammengehöriges Paar \(f(x)=\left(\frac{\sin x}{x}\right)^n\) und \(g(x)=\left(1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}\right)^n\) und dann noch eine waagerechte Gerade bei \(y=0.5\).

Je größer n wird, desto näher liegen die Funktionsgraphen (in einem groben Intervall von \([-3,3]\)) beieinander. Und damit rücken natürlich die Schnittpunkte mit der waagerechten Geraden näher zusammen.

Ich erkläre mir das einfach damit, dass in diesem Bereich die Funktionswerte der beiden Funktionen für \(n=1\) aus \([0,1]\) sind.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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