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Analysis » Grenzwerte » lim (4^n-2^n)^(1/n) = 4 zeigen
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Universität/Hochschule lim (4^n-2^n)^(1/n) = 4 zeigen
ILoveMath3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-17


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(Mit dem Quotientenkriterium komm ich auch auf 4, allerdings war dies für mich umständlicher..dementsprechend hab ichs mal mit dem Wurzelkriterium versucht :) )

Mfg





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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

da sollte es doch eigentlich ausreichen, die \(4^n\) aus der Wurzel und dann aus dem Limes herauszuziehen. Was dann stehenbleibt kann man mit bekannten Grenzwerten begründen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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ILoveMath3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-17


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Mfg



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

ja, das ist erlaubt*. Denn es ist \(\lim_{n\to\infty}1^{1/n}=1^0=1\).


Gruß, Diophant

* Aber Achtung: das ist in diesem Fall erlaubt, jedoch nicht generell. Näheres kannst du der kleinen Unterhaltung zwischen Kuestenkind und mir weiter unten entnehmen. 😄
\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-02-17


Huhu ILoveMath3,

das ist natürlich nicht erlaubt. Das bekannteste Beispiel ist doch:

\(\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\)

Der Standardtrick bei variablen Exponenten ist den Logarithmus zu betrachten.

Gruß,

Küstenkind



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ILoveMath3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-17


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Mfg

Edit: Auf die Aussage vom vorherigen Beitrag wollte ich hinaus :) und wir haben noch keinen Logaritmus definiert.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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GordonYoung
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-02-17


Du kannst auch einfach die gleiche Idee wie bei der oberen Abschätzung brauchen, und zeigen, dass

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ILoveMath3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-17


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Aber ehrlich gesagt wäre ich drauf nicht gekommen.
Hast du einfach rumprobiert oder gabs eine Idee dahinter mit dem 1/2 ?

Mfg




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-02-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
@Kuestenkind:
Dein Gegenbeispiel \(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\) überzeugt mich hier (noch?) nicht. Denn dabei läuft es auf den nicht definierten Ausdruck \(1^{\infty}\) hinaus, und deshalb geht das nicht.

Im obigen Fall geht jedoch der Exponent gegen Null und der Klammerinhalt gegen 1.

Ich schreibe gerade vom Handy aus, da ist es kompliziert, die Forumsuche zu bemühen und einen Beitrag zu schreiben. Ich meine mich aber zu erinnern, dass das hier im Forum schon desöfteren so gemacht wurde (bei n. Wurzeln).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-02-17


Huhu Diophant,

da war ich etwas vorschnell - ich hätte besser "das ist natürlich im Allgemeinen nicht erlaubt" schreiben sollen. Das was du schreibst ist richtig - diese Voraussetzungen sollten aber denn auch nicht unerwähnt bleiben. Danke für die Ergänzung!

Gruß (und einen schönen Abend wünscht),

Küstenkind



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-02-17


Hallo Küstenkind,

das ist ja das schöne hier: dass man im gegenseitigen Austausch sein Wissen evaluieren und dann ggf. korrigieren oder eben festigen kann.  😄

Auch dir einen schönen Abend.


Gruß, Diophant



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