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Universität/Hochschule Bindungsregeln von Quantoren bei Prädikatenlogik
sugarREE
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 18.03.2018
Mitteilungen: 16
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-18


Hallo,

ich habe folgende zwei Aufgaben und weiß nicht genau, wie es sich mit der Bindung verhält bzw. was das Auflösen der Implikationen genau verändert.

1. ∃z(∀x(P (x) → ∃yQ(y)) → ∀xS(z))

Ist: ∃z(¬∀x(¬P (x)  v ∃yQ(y)) v ∀xS(z)), oder kommt die Negation vor den ersten Existenzquantor?

2. ∃z∀x(P (x) → ∃yQ(y)) → ∀xS(z)

Welche der beiden Formen wäre hier korrekt?

 ¬∃z∀x(¬P (x) v ∃yQ(y)) v ∀xS(z) oder ∃z¬∀x(¬P (x) v ∃yQ(y)) v ∀xS(z)?


Danke im Voraus!



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Kittler
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 14.01.2020
Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-18


Hi, du hast sofort beide Implikationen aufgelöst, deswegen weiß ich nicht genau auf was du hinaus willst, aber hier mal eine Umformung, die stimmen sollte
$
\begin{align*}
\exists z(\forall x(P(x) \rightarrow \exists y Q(y)) \rightarrow \forall x S(z))
&\equiv
\lnot \exists z(\forall x(P(x) \rightarrow \exists y Q(y)) \vee \forall x S(z)) \\
&\equiv
\lnot \exists z(\lnot \forall x(P(x) \vee \exists y Q(y)) \vee \forall x S(z))
\end{align*}
$



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sugarREE
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 18.03.2018
Mitteilungen: 16
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-18


2020-02-18 20:38 - Kittler in Beitrag No. 1 schreibt:

<math>
\begin{align*}
\exists z(\forall x(P(x) \rightarrow \exists y Q(y)) \rightarrow \forall x S(z))
&\equiv
\lnot \exists z(\forall x(P(x) \rightarrow \exists y Q(y)) \vee \forall x S(z)) \\
&\equiv
\lnot \exists z(\lnot \forall x(P(x) \vee \exists y Q(y)) \vee \forall x S(z))
\end{align*}
</math>


Vielen Dank für Deinen Beitrag! Das ist soweit auch verständlich!
Hast Du auch eine Idee, wie es sich beim zweiten Beispiel verhält? Also wenn keine Klammern um die erste Teilformel sind:

Also: \(\exists z\forall xP(x) \rightarrow \exists y Q(y) \rightarrow \forall x S(z) \)


Und ändert folgende Klammerung wieder etwas?
Also:  \(\exists z\forall x(P(x) \rightarrow \exists y Q(y)) \rightarrow \forall x S(z) \)

Vielen Dank im Voraus für Deine Hilfe. Ich habe nicht besonders viel zu dem Thema finden können. Umso glücklicher bin ich, jemanden gefunden zu haben, der sich offensichtlich damit auskennt haha 😉



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6289
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-19


Die zweite Formel würde ich so vielleicht handschriftlich mit entsprechenden Abständen, aber nicht in einer Publikation verwenden.
Für mich wird nicht klar genug, ob das
a) [∃z∀x(P(x) → ∃yQ(y))] → ∀xS(z),
b) ∃z [∀x(P(x) → ∃yQ(y)) → ∀xS(z)], oder
c) ∃z∀x [(P(x) → ∃yQ(y)) → ∀xS(z)]
heißen soll.

a) erscheint mir am wahrscheinlichsten, c) am unwahrscheinlichsten.

Daran würde ich auch dann festhalten, wenn hier jemand die DIN-Norm xyz vorlegt, nach der das genau so zu verstehen ist.
Selbst wenn es nur einem Teil der Leser unklar ist, sollte die Schreibweise vermieden werden.

Für a) spricht die Annahme, dass Klammern bewusst weggelassen wurden, wenn ein Quantor sich auf den "kleinstmöglichen" in sich geschlossenen Term bezieht.
Beim erste ∀x ist das die Klammer (P(x) → ∃yQ(y)) und beim ∃z ist das ∀x(P(x) → ∃yQ(y)).

In der Praxis wird man natürlich oft schon aus dem Kontext erkennen, was gemeint ist.



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sugarREE
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 18.03.2018
Mitteilungen: 16
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-19


2020-02-19 10:53 - Kitaktus in Beitrag No. 3 schreibt:

a) [∃z∀x(P(x) → ∃yQ(y))] → ∀xS(z),
b) ∃z [∀x(P(x) → ∃yQ(y)) → ∀xS(z)], oder
c) ∃z∀x [(P(x) → ∃yQ(y)) → ∀xS(z)]
heißen soll.

a) erscheint mir am wahrscheinlichsten, c) am unwahrscheinlichsten.


Vielen Dank auch Dir erstmal für Deine Zeit.
Wir haben das nicht mit der eckigen Klammerung gemacht, gemeint ist tatsächlich a).

Aber mal angenommen für alle von Dir beschriebenen a), b) und c).
Was erhält man jeweils nach dem Auflösen der Implikationen.
Nach meinem Verständnis binden die Quantoren ja am stärksten, also kommt die Negation immer vor den Quantor? Dementsprechend wäre

a) ⇔ ¬[∃z∀x(P(x) → ∃yQ(y))] v ∀xS(z) ⇔ ¬[∃z∀x(¬P(x) v ∃yQ(y))] v ∀xS(z)
b) ⇔ ∃z [¬∀x(P(x) → ∃yQ(y)) v ∀xS(z)] ⇔ ∃z [¬∀x(¬P(x) v ∃yQ(y)) v ∀xS(z)]
c) ⇔ ∃z∀x [¬(P(x) → ∃yQ(y)) v ∀xS(z)]  ⇔ ∃z∀x [¬(¬P(x) v ∃yQ(y)) v ∀xS(z)]

Ich finde, das sieht immer so furchtbar unübersichtlich aus. Hoffentlich blickt da noch jemand durch..



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Kitaktus
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Mitteilungen: 6289
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-20


Deine Umformungen sehen gut aus.

Die eckigen Klammern haben (hier bei mir) die gleiche Bedeutung wie runde Klammern. Ich verwende sie nur zur Verdeutlichung, welche Klammerung dazugekommen ist.

Mit der Regel "Quantoren binden am stärksten", ist Interpretation a) richtig. Das meinte ich auch in der Bemerkung am Ende von Beitrag #3.

Ja, wenn Du die Implikation A → B auflösen willst, muss die Negation vor das A, also ¬[A]. Wenn A eine quantivizierte Aussage ist, dann muss die Negation vor den Quantor.

Man kann anschließend die Negationen von außen nach innen bringen
¬∀x:P(x) ist identisch zu ∃x:¬P(x)
¬∃x:P(x) ist identisch zu ∀x:¬P(x)
Dann heben sich vielleicht einige Negationen auf und es wird wieder ertwas übersichtlicher.



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