Die Mathe-Redaktion - 04.04.2020 14:15 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps für den MP

Werbung

Bücher zu Naturwissenschaft und Technik bei amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 587 Gäste und 24 Mitglieder online

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Einheitswurzeln in endlichen Erweiterungen von Q_p
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Einheitswurzeln in endlichen Erweiterungen von Q_p
Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 627
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-18


Hey,

eine Frage zu Gouveas p-adic numbers, Problem 224 [S. 151].

Sei $K/\mathbb{Q}_p$ eine endliche Erweiterung und $\mathfrak{m}_K$ das maximale Ideal des Bewertungsrings $\mathcal{O}_K$.
Sei $\zeta \equiv 1 \pmod{\mathfrak{m}_K}$ und $\zeta^m = 1$ für $m$ teilerfremd zu $p$.

Aufgabe 224 gibt eine (recht präzise) Anleitung um zu zeigen, dass dann $\zeta = 1$ folgt. Nämlich so:

Indem man Potenzen von $\zeta$ nimmt, erhält man eine $\ell$-te Einheitswurzel $\zeta_1$, sodass $\ell$ eine Primzahl ungleich $p$ ist. Sei $x_1 = 1 - \zeta_1 \in \mathfrak{m}_K$. Dann gilt $$(1-x_1)^{\ell} - 1 = 0.$$ Die linke Seite ausmultiplizieren und umordnen führt zum Ziel.

Meine Frage: Wieso müssen wir überhaupt $\ell$ einführen? Ich sehe nicht, wieso das gleiche Argument nicht auch für $m$ funktioniert.

Etwas genauer funktioniert das Argument so: Wähle $\zeta \neq 1$ als primitive $m$-te Einheitswurzel. Entsprechend ist $\zeta_1$ eine primitive $\ell$-te Einheitswurzel. Nach binomischem Lehrsatz ist $$-\ell x_1 + \binom{\ell}{2} x_1^2 -+ \dots +(-x_1)^\ell = 0.$$ Falls $x_1 \neq 0$, so folgt $$\ell = \binom{\ell}{2} x_1 -+ \dots + (-x_1)^{\ell - 1}.$$ Doch $|\ell| = 1$ und die rechte Seite hat Betrag $<1$, da $x_1 \in \mathfrak{m}_K$. Das ist ein Widerspruch, also $x_1 = 0$, somit $\zeta_1 = 1$. Widerspruch.

Hier geht doch nichts schief, wenn überall $\ell$ durch $m$ ersetzt wird? Übersehe ich etwas?


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP, that seems no longer to be maintained or supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]