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Funktionentheorie » klassische Funktionen » Jacobische Transformationsformel
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Universität/Hochschule J Jacobische Transformationsformel
Taxi1729
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-21


Hallo,

ich beschäftige mich zur Zeit mit der Riemannschen Zeta-Funktion.

Dabei bin ich auf die jacobische Theta-Funktion gestossen.

Leider finde ich nirgends einen verständlichen Beweis der Transformationsformel.

Konkret : $\vartheta(-\frac{1}{z})=\sqrt{\frac{z}{i}}\cdot\vartheta(z)$

wobei $\vartheta(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi in^2z}$

Kann mir da bitte jemand weiterhelfen?

P.S.: Die Theta-Funktion ist ziemlich "dicht", d.h. sie oszilliert
unheimlich schnell. Ist meiner Meinung nach somit nur für theoretische
Zwecke geeignet. 😄




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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-22


Huhu Taxi1729,

2020-02-21 17:52 - Taxi1729 im Themenstart schreibt:
Leider finde ich nirgends einen verständlichen Beweis der Transformationsformel.

heißt das nun, dass du Beweise gefunden hast, welche du nicht verstehst? Oder hast du keinen Beweis gefunden? Im ersten Fall wäre es vll besser hier einen Beweis vorzustellen und zu fragen, was du nicht verstehst. Oder möchtest du nur eine Quelle? Dann findest du einen Beweis in "A Course of Modern Analysis" von Whittaker und Watson (1950) auf Seite 475/476. Dieser basiert im Wesentlichen auf Liouville's theorem.

Gruß,

Küstenkind



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Taxi1729
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-22


Also,

der Autor des Beweises beginnt mit der allgemeinen Theta-Funktion :
$\vartheta(Z):=\sum_{n=\infty}^{\infty}e^{\pi i (n+w)^2z}$ und zeigt, dass $\sqrt\frac{z}{i}\sum_{n=\infty}^{\infty}e^{\pi i (n+w)^2z}=\sum_{n=\infty}^{\infty}e^{\pi i n^2(-\frac{1}{z})+2\pi inw}$ (Satz 2.1).

Der Beweis geht wie folgt :

Für festes z hat die Funktion
$f(w):=\sum_{n=\infty}^{\infty}e^{\pi i z (n+w)^2}$
Periode 1, da $f(w+1)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi i z (n+(w+1))^2}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi i z ((n+1)+w)^2}$
(Das ist eine einfache Index-Verschiebung)
ist, und kann daher in eine Fourierreihe $f(w)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_me^{2\pi imw}$ entwickelt werden, wobei
$a_m=\int_{0}^{1}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi iz(n+w)^2-2\pi imw}du$
(Bestimmung der Koeffizienten so weit klar) gilt und $w=u+iv$ ist. Der Imaginärteil $v$ von
$w$ kann dabei zunächst beliebig gewählt werden.

Aufgrund der lokalen gleichmäßigen Konvergenz kann man die Summe und das
Integral vertauschen , sodass Substitution durch $u\mapsto u-n$ folgendes liefert :

$a_m=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{0}^{1}e^{\pi iz(n+w)^2-2\pi imw}du$

$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{0-n}^{1-n}e^{\pi iz(n+(u-n)+iv)^2-2\pi im((u-n)+iv)}du$

$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{0-n}^{1-n}e^{\pi iz(u+iv)^2-2\pi im(u+iv)}\cdot e^{2\pi imn}du$

$=\int_{-\infty}^{\infty}e^{\pi izw^2-2\pi imw}du$ (wegen $e^{2\pi imn}=1$)

$=\int_{-\infty}^{\infty}e^{\pi i(zw^2-2mw)}du$

Quadratische Ergänzung liefert :

$zw^2-2mw=z(w-\frac{m}{z})^2-z^{-1}m^2$ (klar)

also

$a_m=e^{-\pi im^2z^{-1}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{\pi iz(w-\frac{m}{z})^2}du$ (Ausklammern von $e^{-\pi im^2z^{-1}}$, weil die Integrationsvariable $u$ nicht in dem Faktor vorkommt)

Nun soll $w-\frac{m}{z}$ reell sein. Dazu können wir den Imaginärteil $v$ von $w$ bei der Fourierentwicklung passend wählen. Man erhält

$a_m=e^{\pi im^2(-\frac{1}{z})}\int_{-\infty}^{\infty}e^{\pi izu^2}du$
($v=0$ setzen und eine Verschiebung von $u$ um $-\frac{m}{z}$, was geht, weil
wir von -unendlich bis unendlich integrieren)

nach einer Translation von $u$, also

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi iz(n+w)^2}=\int_{-\infty}^{\infty}e^{\pi izu^2}du\cdot \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi in^2(-\frac{1}{z})}e^{2\pi inw}$

(Wieder die Fourier-Summe : $\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi iz(n+w)^2}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_m\cdot e^{2\pi imw}$)

Man muss also nur noch das Integral berechnen, also die Formel
$\int_{-\infty}^{\infty}e^{\pi izu^2}du=\sqrt{\frac{z}{i}}^{-1}$ beweisen.

Beide Seiten sind lokal in eine konvergente Potenzreihe entwickelbar,
stellen analytische Funktionen in $z$ dar, also muss man sie nur für
rein imaginäre $z=iy$ zeigen. Damit ist es für eine nicht diskrete
Teilmenge gezeigt, also gilt mit dem Identitätssatz die Gleichheit.
Dazu substituiert man $t=u\cdot\sqrt{y}$, also $u^2=\frac{t^2}{y}$ und
führt damit die Rechnung auf ein bekanntes Integral zurück :

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi yu^2}du=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{y}}e^{-\pi t^2}dt=\frac{1}{\sqrt{y}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi t^2}dt=\sqrt{\frac{1}{y}}=\sqrt{y}^{-1}=\sqrt{\frac{z}{i}}^{-1}$
(weil, wie wir alle wissen $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi x^2}dx=1$)
(und weil $e^{-\pi yu^2}=e^{-\pi t^2}$)
(und weil $du=\frac{dt}{\sqrt{y}}$)

Nun kann man die Jacobi'sche Thetatransformationsformel spezialisieren,
was zu folgendem Satz führt.

(2.2) Satz
Die Funktion $\vartheta(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi in^2z}$
ist eine analytische Funktion, die den Transformationsformeln

$\circ$ $\vartheta(z+2)=\vartheta(z)$
$\circ$ $\vartheta(-\frac{1}{z})=\sqrt{\frac{z}{i}}\vartheta(z)$

genügt und damit die Periode 2 hat.
Neben $\vartheta(z)$ betrachten wir auch noch $\tilde \vartheta(z)=\vartheta(z+1)$, mit $\tilde\vartheta(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^ne^{\pi in^2z}$
(Warum $(-1)^n$ ?)

Dieses $\tilde\vartheta$ ist also ein spezieller Wert der Jacobi'schen Thetafunktion $\vartheta(z,w)$, nämlich : $\tilde\vartheta(z)=\vartheta(z,\frac{1}{2})$

Aus 2.1 erhält man folgende Transformationsformel für $\tilde\vartheta$ :
$\tilde\vartheta(-\frac{1}{z})=\sqrt{\frac{z}{i}}\tilde{\tilde\vartheta}(z)$ wobei
$\tilde{\tilde\vartheta}(z):=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi i(n+\frac{1}{2})^2z}$ ist.

Beweis
Zunächst zur Periode :
$\vartheta(z+2)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi in^2(z+2)}$
$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi in^2z}\cdot e^{2\pi in^2}$
$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi in^2z}$
$=\vartheta(z)$. (Das ist soweit klar)

Und zu $\vartheta(-\frac{1}{z})=\sqrt{\frac{z}{i}}\vartheta(z)$ :
$\vartheta(-\frac{1}{z})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi in^2(-\frac{1}{z})}=\sqrt{\frac{z}{i}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi in^2z}=\sqrt{\frac{z}{i}}\vartheta(z)$.

Sind meine Begründungen richtig?



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-22


Hi,

kennst du die Poissonsche Summenformel (um das Ganze übersichtlicher zu machen)?



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Taxi1729
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-23


Hallo kurtg,

die Poissonsche Summenformel ist mir nicht geläufig.

Dafür ist mir noch etwas eingefallen, was ich an dem Beweis nicht verstehe :

Warum definiert der Autor des Beweises $\tilde\vartheta(z)$ und $\tilde{\tilde\vartheta}(z)$, benutzt diese aber im "eigentlichen" Beweis ganz unten nicht?

Dafür habe ich jetzt verstanden, warum $\vartheta(z+1)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^ne^{\pi in^2z}$ :

Es ist $\vartheta(z+1)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi in^2(z+1)}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi in^2}\cdot e^{\pi in^2z}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n^2}e^{\pi in^2z}$

Aufgrund der gleichen Parität von $n$ und $n^2$ ist das gleich $\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^ne^{\pi in^2z}$

Manchmal denke ich einfach zu kompliziert. Ich hätte da nämlich eine längere
Umformung erwartet. 😄



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Taxi1729
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-23


O.k.

ich denke, ich habe auch in diesem Punkt Klarheit :

Der Autor des Beweises verwendet $\tilde\vartheta(z)$ und $\tilde{\tilde\vartheta}(z)$ weiter unten
in seiner Ausarbeitung. Und anscheinend haben diese mit dem
Beweis meines Interesses gar nichts zu tun. 😁

Aber das mit der Poissonschen Summenformel tät mich
dann doch noch interessieren. Ich meine, wie man das
Ganze damit übersichtlicher machen kann.



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-02-23


Huhu,

2020-02-23 19:29 - Taxi1729 in Beitrag No. 7 schreibt:
Aber das mit der Poissonschen Summenformel tät mich
dann doch noch interessieren.

nun, das ist nicht wirklich spannend, man wendet sie einfach an. Konkret:

\(\displaystyle \vartheta(z)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}e^{\pi i n^2z}=\sum_{k\in \mathbb{Z}} \, \int_{-\infty}^{\infty} e^{\pi i t^2z-2\pi i k t} \dd t \)

Nun berechnen wir das Integral und substituieren dafür \(t \mapsto \sqrt{\frac{i}{z}}t+\frac{k}{z}\).

\(\displaystyle  \int_{-\infty}^{\infty} e^{\pi i t^2z-2\pi i k t} \dd t=\int_{-\infty}^{\infty} e^{\pi i \left(\sqrt{\frac{i}{z}}t+\frac{k}{z}\right)^2 z-2\pi i k \left(\sqrt{\frac{i}{z}}t+\frac{k}{z}\right)} \dd \left(\sqrt{\frac{i}{z}}t+\frac{k}{z}\right)=\sqrt{\frac{i}{z}} e^{-\frac{i \pi k^2}{z}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi t^2} \dd t \)

Und:

2020-02-22 16:29 - Taxi1729 in Beitrag No. 4 schreibt:
(weil, wie wir alle wissen $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi x^2}dx=1$)

folgt somit:

\(\displaystyle \vartheta(z)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}e^{\pi i n^2z}=\sum_{k\in \mathbb{Z}} \, \int_{-\infty}^{\infty} e^{\pi i t^2z-2\pi i k t} \dd t =\sum_{k\in \mathbb{Z}} \sqrt{\frac{i}{z}} e^{-\frac{i \pi k^2}{z}}=\sqrt{\frac{i}{z}}\vartheta\left(-\frac{1}{z}\right) \)

Gruß,

Küstenkind

edit: Wobei mir nun noch einfällt, dass man sich wohl noch, da wir eine komplexe Substitution gemacht haben, Gedanken über den Integrationsweg (in der komplexen Ebene) machen sollte.



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Taxi1729
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-24


Hallo Küstenkind,

das ist schön und kurz.

2020-02-23 21:03 - Kuestenkind in Beitrag No. 8 schreibt:

\(\displaystyle  \int_{-\infty}^{\infty} e^{\pi i t^2z-2\pi i k t} \dd t=\int_{-\infty}^{\infty} e^{\pi i \left(\sqrt{\frac{i}{z}}t+\frac{k}{z}\right)^2 z-2\pi i k \left(\sqrt{\frac{i}{z}}t+\frac{k}{z}\right)} \dd \left(\sqrt{\frac{i}{z}}t+\frac{k}{z}\right)=\sqrt{\frac{i}{z}} e^{-\frac{i \pi k^2}{z}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi t^2} \dd t \)


Hast Du $\pi i \left(\sqrt{\frac{i}{z}}t+\frac{k}{z}\right)^2 z-2\pi i k \left(\sqrt{\frac{i}{z}}t+\frac{k}{z}\right)=-\pi t^2-\frac{i\pi k^2}{z}$ im Kopf oder auf Papier ausgerechnet? Wenn Du das im Kopf ausgerechnet hast : Respekt  😎

Was den Integrationsweg betrifft : Du schreibst "in der komplexen Ebene".
Meinst Du, wir müssen ein Kurvenintegral betrachten? Nee, ne? Das war ja
auch nur mein erster Gedanke.



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-02-27


Huhu Taxi1729,

2020-02-24 11:31 - Taxi1729 in Beitrag No. 9 schreibt:
Wenn Du das im Kopf ausgerechnet hast : Respekt  8-)

nein - ich war aber auch schon mächtig stolz, dass ich dieses auf Papier fehlerfrei berechnen konnte.

Nun - bei komplexer Substitution müssten wir eigentlich ein Kurvenintegral berechnen. Siehe z.B. auch hier. Hier kann man wohl aber auch so argumentieren, wie es Robert Israel gemacht hat. Hier geht es dann ja um die obere Halbebene. Siehe dazu auch dort seinen Beitrag.

Gruß,

Küstenkind



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Taxi1729
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-29


Es ist so, dass $\forall c\in\mathbb{C}$ mit $|\Im(c)|<|\Re(c)|$ und $\gamma(t):=c \cdot\sqrt{\frac{i}{z}}\cdot t$ :

$\int_{\gamma}e^{\pi i w^2z-2\pi ikw}dw=\int_{-\infty}^\infty e^{\pi i\gamma(t)^2z-2\pi ik\gamma(t)}\dot\gamma(t) dt=\int_{-\infty}^\infty e^{\pi i\gamma(t)^2z-2\pi ik\gamma(t)}\cdot c\cdot\sqrt{\frac{i}{z}} dt=$
$\int_{-\infty}^{\infty}e^{\pi ir^2z-2\pi ikr}dr=\sqrt{\frac{i}{z}}e^{\frac{-ik^2\pi}{z}}$

Welches ist jetzt das "richtige" Kurvenintegral?

Ein Link lässt mir eine Frage offen :

Wie komme ich von $\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi x^2z}dx$ zu $z^{-\frac{1}{2}}\cdot\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi x^2}dx$?



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Kuestenkind
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Es wurde \(x\mapsto \frac{1}{\sqrt{z}}x\) substituiert:

\(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty e^{-\pi x^2z}\, \dd x=\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi \left(\frac{1}{\sqrt{z}}x\right)^2z}\, \dd \left(\frac{1}{\sqrt{z}}x\right)=\frac{1}{\sqrt{z}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\pi x^2}\, \dd x\)

Während \(x\) vor der Substitution reell war, ist es nach der Substitution nun nicht mehr. Nun müssten wir also wieder den Integrationsweg betrachten (wir haben die Grenzen ja schließlich nicht mittransformiert) - oder eben so argumentieren wie es Robert Israel macht.

Gruß,

Küstenkind



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Taxi1729
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-03


Ja natürlich.

die Substitution ist ja gar nicht so schwierig.

Aber ich finde es etwas irritierend, die neue Variable
so zu benennen wie die Ursprüngliche. Da komme ich nämlich
immer durcheinander. 🙃

Ich hätte es so formuliert :

$I:=\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi x^2z}dx$

Jetzt sei $x:=\frac{1}{\sqrt{z}}w\Rightarrow \frac{dx}{dw}=\frac{1}{\sqrt{z}}\Leftrightarrow dx=\frac{1}{\sqrt{z}}dw$

$\Rightarrow I=\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi(\frac{1}{\sqrt{z}}w)^2z}dx$

$=\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi w^2}dx$

$=\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi w^2}\frac{1}{\sqrt{z}}dw$

$=\frac{1}{\sqrt{z}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi w^2}dw$

Mr. Israel schreibt doch nichts zu der Anpassung des Integrationsweges,
oder übersehe ich das nur? Wie auch immer folgert er aus $F(z)=\int_{-\infty}^\infty f(x,z)dx$ in $J$,
und $U$ eine Obermenge von $J$, dass die Formel auf ganz $U$ gültig sein muss.

Benutzt er da den Identitätssatz?



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Taxi1729
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-07


Danke für Eure Beiträge, insbesondere Küstenkind.

Jetzt verstehe ich die Umformung bei der
jacobischen Thetatransformationsformel 🙂

Gruß
Taxi1729



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