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Moderiert von mire2 StrgAltEntf
Logik, Mengen & Beweistechnik » Induktion » Beweis ∑ 1/[k(k + 1)] = n/(n + 1) mittels vollständiger Induktion
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Universität/Hochschule Beweis ∑ 1/[k(k + 1)] = n/(n + 1) mittels vollständiger Induktion
MikaRute
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-21


Hallo,

Ich melde mich wie gestern zur späten Stunde, weil ich es über den Tag mehrmals versucht habe, jedoch jedes Mal kläglich gescheitert bin eine Gleichheit zu zeigen.
Die Aufgabe und meinen bisherigen Lösungsweg habe ich in einen Screenshot gepackt unter:


Ich bin mir ziemlich sicher, dass mein Lösungsweg bis hierher in die richtige Richtung geht, als hoffe ich.
Hat einer von euch eine Idee was ich falsch mache, bzw. machen muss, um den Beweis zu vollbringen.

Wie gestern auch bin ich über jede Hilfe tierisch dankbar :)



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MontyPythagoras
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Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-22


Hallo MikaRute,
Wo ist jetzt Dein Problem? Du bist doch praktisch fertig. Multipliziere den Zähler in Deiner letzten Gleichung aus und erinnere Dich an die binomischen Lehrsätze.

Ciao,

Thomas



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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-02-22


Hallo MikaRute,

multipliziere doch mal den Zähler aus und wende dann die erste binomische Formel an.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-22


Hey,
Tipp: Schreibe auf welche Gleichheit du im Induktionsschritt beweisen möchtest.
In deinem Screenshot hast du bis dahin alles richtig gemacht, es fehlt nur noch ein kleiner Schritt.



[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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MikaRute
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-22


Dann habe ich im Zähler (n+1)^2+1+n stehen.  😮
Habe ich Tomaten auf den Augen oder wieso sehe ich es nicht oder eher gesagt: Will ich es einfach nicht sehen



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StrgAltEntf
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Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5605
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-22


2020-02-22 00:45 - MikaRute in Beitrag No. 4 schreibt:
Dann habe ich im Zähler (n+1)^2+1+n stehen.  😮

Wie kommst du da drauf? Im Zähler steht 1 + n(n + 2). Das ist doch nicht gleich (n + 1)² + 1 + n.



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MikaRute
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Dabei seit: 20.02.2020
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-22


Ohje, es wird spät, ich habe Zähler mit Nenner verwechselt. Das ist mir das letzte Mal im Abi vorgekommen, ohje, ohje, ohje, ....  😁



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-02-22


$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}
=\sum\limits_{k=1}^n\frac{k+1-k}{k(k+1)}
=\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac1{k+1}\right)
=1-\frac{1}{n+1}
=\frac{n}{n+1}$

denn
$\begin{array}{*2{>{\displaystyle}l}}
 \displaystyle\sum\limits_{k=1}^n (a_k - a_{k+1})
&= a_1 - a_{n+1} \\
&= (a_1 {- a_2}) + ({a_2} {- a_3}) + \ldots + ({a_n} - a_{n+1}) \\
&= a_1 + {(- a_2 + a_2)} + {(- a_3 + a_3)} +  \ldots + {(-a_n +a_n)} - a_{n+1} \\
&= a_1 + {0} + {0} + \ldots + {0} - a_{n+1} \\
\end{array}$
(Teleskopsumme).



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xiao_shi_tou_
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Mitteilungen: 1229
Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-02-22


2020-02-22 00:45 - MikaRute in Beitrag No. 4 schreibt:
Dann habe ich im Zähler (n+1)^2+1+n stehen.  😮
Habe ich Tomaten auf den Augen oder wieso sehe ich es nicht oder eher gesagt: Will ich es einfach nicht sehen

Offtopic:
So geht es mir auch oft. Vor allem wenn ich etwas beweisen soll, ohne den Themenbereich gut durchschaut/verstanden zu haben. Manchmal hilft es die richtigen Fragen zu stellen.
Viel Erfolg noch



-----------------
”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.



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X3nion
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Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 605
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-02-22


2020-02-22 01:58 - geroyx in Beitrag No. 7 schreibt:

denn
$\begin{array}{*2{>{\displaystyle}l}}
 \displaystyle\sum\limits_{k=1}^n (a_k - a_{k+1})
&= a_1 - a_{n+1} \\
&= (a_1 {- a_2}) + ({a_2} {- a_3}) + \ldots + ({a_n} - a_{n+1}) \\
&= a_1 + {(- a_2 + a_2)} + {(- a_3 + a_3)} +  \ldots + {(-a_n +a_n)} - a_{n+1} \\
&= a_1 + {0} + {0} + \ldots + {0} - a_{n+1} \\
\end{array}$
(Teleskopsumme).

Hmm die "Pünktchen-Schreibweise" finde ich nicht so gut, da sie ihrerseits wiederum Induktion impliziert.
Entweder man beweist $\sum\limits_{k=1}^n (a_k - a_{k+1}) = a_1 - a_{n+1}$ per Induktion, oder man nutzt den Indexshift (und beweist diesen bei Gelegenheit, sofern noch nicht in der Vorlesung geschehen):

$\sum\limits_{k=1}^n (a_k - a_{k+1}) = \sum\limits_{k=1}^n a_k - \sum\limits_{k=1}^n a_{k+1} = \sum\limits_{k=1}^n a_k - \left(\sum\limits_{k=2}^{n+1} a_{k}\right)$
$= \sum\limits_{k=1}^n a_k - \left(- a_{1} + \sum\limits_{k=1}^{n+1} a_{k} \right) = \sum\limits_{k=1}^n a_k - \left(- a_{1} + a_{n+1} + \sum\limits_{k=1}^{n} a_{k} \right)$
$= a_{1} - a_{n+1} + \sum\limits_{k=1}^n a_k - \sum\limits_{k=1}^n a_k = a_{1} - a_{n+1}$.

Hierfür benötigt man wie gesagt den Indexshift $\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k+1} = \sum \limits_{k=2}^{n+1} a_{k}$, was eigentlich eine klare Aussage ist, man aber auch per Induktion beweisen kann.

Viele Grüße und einen schönen Samstag wünscht,
X3nion 😄



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